文字を含む３次関数の最大・最小

質問

「a＞0とする。ｆ(x)＝x^3－27a^2x(0≦x≦3)の最大値と最小値を求めよ」と言う問題です。
尚、ｆ’(x)＝3(x＋3a)(x－3a)です。
特に、場合分けがよく分かりません。
よろしくお願いします。

回答No.2

bran111 · ベストアンサー

適当なa>0を仮定して(a=1程度)、変域は制限せず、y=f(x)のグラフが描けるかどうかで決まります。
原点対称、極大はx=-3a,極小はy=3a,ｘ軸との交点はx=-(3√3)a, 0, (3√3)aというグラフが描けましたか。描けなければこの問題を解くことはあきらめてください。

この絵と変域(0≦x≦3)を組み合わせて最大、最小を考えるということに尽きます。グラフにおいて3の位置を適宜動かしていく感じです。
最大値をM、最小値をmで表します。

1)3≦3aのとき、すなわちa≧1の時
M=f(0)=0
m=f(3)=27(1-3a^2)
2)3a<3≦(3√3)aのとき、すなわち√3/3≦a<1の時
M=f(0)=0
m=f(3a)=-54a^3
3)(3√3)a<3のとき、すなわちa<√3/3の時
M=f(3)=27(1-3a^2)
m=f(3a)=-54a^3

お礼

とてもよく判りました。
どうも有難うございました。

補足

グラフは描けました。
答えにも書いて下さっていますが、最大値は、グラフとｘ軸との交点である３√３a、最小値は、極小値を取る３aで、場合分けすると良いんですね。

回答No.1

shintaro-2

>尚、ｆ’(x)＝3(x＋3a)(x－3a)です。
> 特に、場合分けがよく分かりません。

0≦x≦3とされていますので
f'(x)=0がその範囲内にあるかどうか
範囲内であったとしても、f(0)、f(3)よりも小さい、あるいは大きいかが問題となります。

基本的な3次関数のグラフを描いてイメージしてください。