平均と分散

質問

ある集合体Xの平均をα、分散をβとします。
Y=X+4
Z=3X　
W=3X+4
V=W+Y　（=4X+8）

それぞれの平均と分散を求めなさい。という問題で
Yの平均はα、分散はβ
Zの平均は3α、分散は9β
Wの平均は3α＋4、分散は9β
Vの平均は4α+8、分散は16β

となるようなんです。
平均値の方は感覚で理解出来たのですが、分散の値が
どうしてこうなるかわかりません。

分散に関して
γの二乗=(aγ）の二乗という公式があるようなのですが
どうしてこれが成り立つのかわかりません。

出来れば、平均値の方もうまく言葉で説明して
頂けると嬉しいです。

早く回答頂けるとほんとに助かります！

回答No.2

noname#8027 · ベストアンサー

X={x1,x2,x3,・・・,xn}とすると、
α=(x1+x2+x3+・・・+xn)/n

このとき、S=aX+b の意味するところは、
S={ax1+b,ax2+b,ax3+b,・・・・,axn+b}
という事になります。

mean(S)
=(ax1+b+ax2+b+ax3+b+・・・+axn+b)/n
={a(x1+x2+X3+・・・+xn)+bn}/n
=a*(x1+x2+x3+・・・+xn)/n + bn/n
=aα+b

分散は、
β={(x1-α)^2+(x2-α)^2+(x3-α)^2+・・・+(xn-α)^2}/n

variance(S)
={(ax1+b-aα-b)^2+(ax2+b-aα-b)^2+(ax3+b-aα-b)^2+・・・+(axn+b-aα-b)^2}/n
={(ax1-aα)^2+(ax2-aα)^2+(ax3-aα)^2+・・・+(axn-aα)^2}/n
={a^2(x1-α)^2+a^2(x2-α)^2+a^2(x3-α)^2+・・・+a^2(xn-α)^2}/n
=a^2{(x1-α)^2+(x2-α)^2+(x3-α)^2+・・・+(xn-α)^2}/n
=a^2β

具体的に、{2,5,6,8,4}などで計算してみるとイメージしやすいと思います。

お礼

文字列で考えるとまさしくこの通りですね！
Y＝ａＸ＋ｂと仮定するのがポイントなんですね☆

すっごく参考になりました！
有難うございました☆

回答No.1

liar_adan

分散は、計算で出てくる量なので、
感覚的な理解はしにくいかもしれません。
なぜ2乗になるか、の理由は、
分散を計算する途中で、2乗するという操作が入っているから…
となりますが、それでもわかりにくいでしょうか。

分散よりも、標準偏差をメインに考える方が、
まだわかりやすいと思います。
標準偏差は分散のルートをとったものです。
（逆に言うと、分散は標準偏差を2乗したものです）

標準偏差は「ばらつき」を表します。
標準偏差1の集合(標本)と、標準偏差が2の集合(標本)では、
2の方がちょうど2倍遠くまでばらつく…ということが言えます。

さて、XとZがZ=3Xであるとき、XとZの標準偏差を考えてみます。
Xの標準偏差は√βです。これをσとします。
Zの標準偏差は√9βです。計算すると
=√9√β=3√β=3σ
となります。
つまり、3倍した集合(標本)では、標準偏差は3倍になります。

要するに、
「量を3倍に拡大すれば、ばらつきは3倍になる」
わけで、分散はそれの2乗であると考えて下さい。

お礼

なるほど！標準偏差で３倍ということは
分散だと、9倍になるわけですね！

早速の回答有難うございました☆