あるサイコロの分散について

質問

分散を求める問題困っています

かたよったさいころ１０回投げる試行を行う
ここで１の目、４の目が出る確率はそれぞれp
２の目、５の目が出る確率はそれぞれq
３の目、６の目が出る確率はそれぞれr　とする
ただし p、q、r>0、p+q+r=1/2 とする

さらに１の目が出る回数をＸ、
５の目が出る回数をＹ
３の目が出る回数をＺとする

Ｘ、Ｙ、Ｚの分散をそれぞれV(X)、V(Y)、V(Z)とする。
このとき、Ｖ(X)+Ｖ(Y)+Ｖ(Z)の最大値とｐ、ｑ、ｒのその時の値をもとめよ
必要なら(x+y+z)^2=<3(x^2+y^2+z^2)を用いてもよい

私の考えは独立試行なので
V(X)+V(Y)+V(Z)=V(X+Y+Z)とし、

E(X+Y+Z)=10(p+q+r)=5　までは分かったのですが
E({X+Y+Z}^2)について、どういう式にすればよいのか分かりませんでした。

特にどのように変数p,q,rを組み込むのか、また分散の最大値の求め方を詳しく教えてください

どこかで(x+y+z)^2=<3(x^2+y^2+z^2)の式を用いるのだと思うんですが・・

回答No.1

stat-domingo · ベストアンサー

こんにちは。
X,Y,Zはそれぞれ確率変数で、二項分布に従うので、

X～B（10，p）
Y～B（10，q）
Z～B（10，r）

となります。それぞれの分散は、

V(X)＝10×p×（1－p）
V(Y)＝10×q×（1－q）
V(Z)＝10×r×（1－r）

となります。その足し算V(X)+V(Y)+V(Z)は

10(p+q+r)-10(p^2+q^2+r^2)

となるはずです。そこで(p+q+r)=0.5なので、上の式は

5-10(p^2+q^2+r^2)

となります。上の式を最大化するために(p^2+q^2+r^2)を最小化すればよい。
ここで、(x+y+z)^2=<3(x^2+y^2+z^2)を利用すると、1/12=<(p^2+q^2+r^2)となります。つまり、(p^2+q^2+r^2)は1/12を最小値として取るので、答えは

5-10/12 = 25/6

になると思います。終わり。

お礼

ありがとうございました
なるほど、二項分布から導くのですね