分散（２乗平均）を求めるとき

質問

データがあって、その分散を求めようとしています。分散＝（２乗平均－平均の２乗）で計算を試みているのですが、困った点がありまして質問させていただきました。もしお時間よろしければお願いいたします。

・分散を求めるとき、「各データを２乗したものの和÷データの個数（２乗平均）」と「各データの和÷データの個数→これを２乗（平均の２乗）」において、「データ」が無数（データの和が無限級数のようになってる）のとき計算はどうなるのでしょうか？

いい例えでないですが、例えばデータが、実力伯仲の３人の力士が巴戦（先に連勝した者の勝ちで、誰かが連勝するまで延々と勝負は続く）などで複数人から一人の勝者を決まるまでの回数など。このように決まらない場合は回数は延々と増えていくような。指針、アドバイスなどあればお教えくださいm(_ _)m

・あと、上に関連する計算の一部で自分なりに出した式なのですが、
「n^2・x^n-2(ただしx^∞→０)」のn=1から∞までの和というのは求められるでしょうか？求められないでしょうか？（２つもスイマセン）

回答No.1

debut · ベストアンサー

前半部分は意味がよくわからないので、他の回答者の回答を待ってみてください。

後半の和ですが、求めることはできます。答えは -(x+1)/x(x-1)^3 という比較的きれいな
１つの分数になります。（ところで、もとの式はnの2乗かけるxのn-2乗でいいのですよね）

＜計算＞[k=0から∞]Σn^2*x^(n-2) の部分和をSnとすると、

　　　　Sn=1*x^(-1)+4*x^0+9*x+16*x2+…+(n-1)^2*x^(n-3)+n^2*x^(n-2)

　　両辺をx倍して

　　　 xSn= 　　1*x^0+4*x^+9*x^2+ … +(n-1)^2*x^(n-2)+n^2*x^(n-1)

　　これらを辺々引いて、

　　(1-x)Sn=1*x^(-1)+3*x^0+5*x^+7*x^2+ … +(2n-1)^2*x^(n-2)-n^2*x^(n-1)

さらにこの両辺にxをかけた式を辺々引くことと、等比数列の和の公式で、

　　　　Sn=1/x(1-x)^2+2{1-x^(n-1)}/(1-x)^3-x^(n-1)*(n^2+2n-1)/(1-x)^2+n^2*x^n/(1-x)^2

　　ここで lim[n→∞]Snを計算すると1/x(1-x)^2-2/(1-x)^3

　　これを通分して整理するとはじめに示した答えが得られます。

ものすごくみづらくなりましたが、以上。

お礼

途中式まで丁寧に書いていただきまして、とても感謝しております！もう一度自分でもこのやり方で計算をしたいと思います。私の前半部分の質問、わかりにくくてすいませんでした。取り急ぎお礼まで、、m(_ _)m

回答No.2

seta_takahiro

和をもとめてから、データの個数で割るというのだと
求まらないかもしれませんが、
平均というより、期待値の考えを使うと、
相撲の話なら、普通の無限級数で

lim_{n -> 無限大} Σ_{k=1,2,...,n}(k^2 * P(k))
- (lim Σ(k * P(k)))^2

を計算すれば良いのではないでしょうか？
(ただし、P(n) は n 回 で勝負がつく確率)

多分taka_oさんの計算は正しいのだろうと思います。

相撲の場合
P(n) = (1/2)^{(n-1)} (n>=2)
0 (n=1)
だと思うので、
特に難しくなく、
debut さんの回答とあわせれば
答えがでると思います。

お礼

回答大変感謝いたします！そして分かりづらい質問ですいません！おっしゃる通り、期待値の考えを使う方向だと思います。本（ゲームや勝負を数学的な視点から考えた本）を参考に勉強しているのですが、疑問を持って質問した今回の分散の前に期待値についての記述があります。ｎ人で勝負をし、最後の一人が決まるまでの回数の期待値を出してみました。そして、ばらつきを知りたいということで分散をと思いましたが、わからず質問させて頂いた次第です。参考にさせて頂いてもう一度整理して計算してみよう思います！

ちなみに期待値はP+2P^2+3P^3+……+rP^r+……(Pはｎ次の行列)のようになっています（ここからまた計算に便利なように工夫を）