平均と分散

質問

Xを標準正規分布N(0,1)に従う確立変数であるとする。Y＝｜X｜の密度関数を求めよ。またYの平均と分散を求めよ。という問題なのですが密度関数のほうはなんとかいけそうです。平均と分散なんですがもし絶対値がなかったら０と１ですよね。この問題では絶対値がついていますがついていないときとどこが違うんですか？？∫するときに標準正規のとこに絶対値をつければいいんですか？

回答No.1

Mr_Holland · ベストアンサー

標準正規分布をf(x)とすると、Yの平均と分散は、
　　μy＝[-∞→∞]∫|X|f(|X|)dx
　　(σy)^2＝[-∞→∞]∫(|X|-μy)^2 f(|X|)dx
を解くことになります。
　この問題の場合、標準正規分布なのでf(|X|)=f(x)とできますが、それ以外の絶対値は積分区間によって場合分けすることになります。

回答No.2

zk43

Yの分布関数は
P(Y≦y)=P(|X|≦y)=P(-y≦X≦y)
=P(X≦y)-P(X<-y)
=1/√2π∫(-∞,y)exp(-x^2/2)dx-1/√2π∫(-∞,-y)exp(-x^2/2)dx
より、これをyで微分して、Yの確率密度関数g(y)を求めると、
g(y)=1/√2π・exp(-y^2/2)-1/√2π・exp(-y^2/2)・(-1)
=2/√2π・exp(-y^2/2)
（ここに、y≧0）
y<0のときはg(y)=0
となるのでは？

これより、平均はE(Y)=∫(0,∞)y・g(y)dy、
E(Y^2)=∫(0,∞)y^2・g(y)dyより、分散は
V(Y)=E(Y^2)-E(Y)^2を計算すればよいと思います。

とにかく、Xを含む式の確率密度関数を求めるときは、
まず分布関数を求めて、これを微分するのが基本と思います。