差分の絶対値の平均・分散

質問

区間[0,1]から無作為に2点x,yを独立に選ぶとき、w=|x-y|の平均と分散を求めよ
という問題です。

とりあえずx≧yとx＜yで場合わけして絶対値を外すことを考えたのですが、
x≧yのとき
E[w]=E[x-y]=E[x]-E[y]
E[x]=E[y]=1/2　より　E[w]=0？
などと考えたのですが、単純に考えて0はありえません。
どこか根本的な間違いをしていると思います。
図を描いてみてもいまいちピンとこなくて困っています。

どなたかこの問題の解法についてご指導よろしくお願いします。

回答No.1

rnakamra · ベストアンサー

x,y平面で考えます。
x≧y,0≦x≦1,0≦y≦1となる領域を図示してみてください。

(0,0),(1,0),(1,1)の3点を頂点とした直角3角形になると思います。
この中でのxの平均値はいくらでしょうか?yの平均値は?
これは、この三角形の重心の座標になるはずです。

次のように考えることもできます。
x,yの確率分布関数は同じ形([0,1]で一様)です。その確率分布関数をp(x)(or p(y))とおきますと、p(x)=1(0≦x≦1),0(x<0,0<x)となります。
求めるw=|x-y|の平均は次のように計算できます。

E(w)=∫∫_s w*p(x)*p(y)dxdy=∫∫_s |x-y|dxdy (積分領域s|0≦x≦1,0≦y≦1)
=∫[x:0→1]dx{∫[y:0→x]dy (x-y) + ∫[y:x→1]dy (y-x)}

分散も定義に従い計算できると思います。

お礼

丁寧な誘導ありがとうございます。
ちょっと計算してみます。

回答No.3

reiman

X,Yは互いに独立で確率密度関数がともにpとする。
平均は
m=∬|x-y|p(x)p(y)dxdy
m=∬[y<x](x-y)p(x)p(y)dxdy+∬[x<y](y-x)p(x)p(y)dxdy
第2項はxとyを交換しても同じなので、結局
m=2∬[y<x](x-y)p(x)p(y)dxdy
となり半分の労力でできます。
分散は
v=∬(|x-y|-m)^2p(x)p(y)dxdy=∬(x-y)^2p(x)p(y)dxdy-m^2

お礼

ありがとうございました。参考にします。

回答No.2

reiman

X,Yは互いに独立で確率密度関数がともにpとする。
平均は
m=∬|x-y|p(x)p(y)dxdy
m=∬[y<x](x-y)p(x)p(y)dxdy+∬[x<y](y-x)p(x)p(y)dxdy
分散は
v=∬(|x-y|-m)^2p(x)p(y)dxdy=∬(x-y)^2p(x)p(y)dxdy-m^2

簡単な積分の問題でした。