中学生数学 中3

質問

4で割ると1余り、5で割ると2余り、7で割ると2余る自然数の内300に最も近い数は？

3で割ると1余り、5で割ると2余り、7で割ると6余る自然数で500に最も近い数は？

2つとも途中式と答えお願いします　
全くわかりません

回答No.5

staratras · ベストアンサー

No.4で省略した部分を補足します。

あとの方の問題で,
3で割ると1余り、5で割ると2余り、7で割ると6余る自然数をｘとし、ｘ＋８を考えると

この８をどうやって求めるかと言えば、x+ａが3,5,7のいずれでも割り切れるようにする、具体的には
3で割り切れるように、あまりのa+1が3の倍数になるよう…（１）
5で割り切れるように、あまりのa+2が5の倍数になるよう…（２）
7で割り切れるように、あまりのa+6が７の倍数になるよう…（３）
aの値を決めます。
（１）からa=2,5,8…とaの候補を考えていくと、a=8のとき（2）（3）も満たすことがわかりますのでa=8です。

最初の問題も同様な考え方で解けますがこの場合の103の求め方です。
x+bが4でも5でも7でも割り切れるようにしたいので

4で割り切れるように、あまりのb+1が4の倍数になるよう…（１）
5で割り切れるように、あまりのb+2が5の倍数になるよう…（２）
7で割り切れるように、あまりのb+2が７の倍数になるよう…（３）
bの値を決めます。

ただしこの場合最初の問と同様に（１）からb=3,7,11,15…と馬鹿正直に攻めると途中で嫌になるでしょう。

ここで注目するのは（２）と（３）です。この2つの条件(5でも7でも割り切れる）からb+2は５と７の最小公倍数である35の倍数であることがわかります。

そこでb+2=35,70,105,…つまり、b=33,68,103,…が候補になりますが
このうち（１）を満たすのはb=103 です。

回答No.4

staratras

あとの方の問題を次のように考えることもできます。

3で割ると1余り、5で割ると2余り、7で割ると6余る自然数をｘとし、
ｘ＋８を考えると
3で割るとあまりが1+8=9 は3の倍数なのでｘ＋８は3の倍数です。
5で割るとあまりが2+8=10は5の倍数なのでｘ＋８は５の倍数です。
7で割るとあまりが6+8=14は7の倍数なのでｘ＋８は７の倍数です。

つまりx+8は3,5,7すべての倍数なので3,5,7,の最小公倍数105の倍数です。
そこでx+8=105n　x=105n-8　（nは自然数）とおけます。
この形式で表せる自然数xのうちで500に最も近い数は
n=5のときでｘ＝517　です。

最初の問題も同様な考え方で解けますがこの場合は
4で割ると1余り、5で割ると2余り、7で割ると2余る自然数をｘとし、
x+103を考えることになります。（この103を見つけるのが8より困難）

4で割るとあまりが1+103=104 は4の倍数なのでｘ＋103は４の倍数です。
5で割るとあまりが2+103=105は5の倍数なのでｘ＋103は５の倍数です。
7で割るとあまりが2+103=105は7の倍数なのでｘ＋103は７の倍数です。

つまりx+103は4,5,7すべての倍数なので4,5,7,の最小公倍数140の倍数で
　x+103=140n　x=140n-103　（nは自然数）とおけます。
この形式で表せる自然数xのうちで300に最も近い数は
n=3のときでｘ＝317　です。

回答No.3

Kaneyan-R

(1)　4で割ると1余ることから、ある数は「奇数」確定。
(2)　5の倍数の一の位は0か5しか無いので、5で割ると2余るなら一の位は「2」か「7」。(1)から奇数である「7」確定。
(3)　7で割ると2余るので、7の倍数で(2)から一の位が7-2=5になるのは「35」のみ。よって「35の倍数+2」であることが確定。
(4)　(3)から　300÷35≒8.6　と言うことで、最も300に近いのは35×9+2=317。
(5)　317÷4=79余り1　と言うことで、
　　・4で割ると余り1（奇数）
　　・5で割ると余り2（一の位が7）
　　・7で割ると余り2（35の倍数+2）
　全ての条件に一致。

答え　317

回答No.2

asuncion

初めの問いですけどね、こんな考え方もできます。
4で割ると1余り ... (a)
5で割ると2余り ... (b)
7で割ると2余る ... (c)
条件(a)(b)を比べたとき、
「4とか5とかの倍数にするには3足りない」ってことがわかりますか？
もしわかれば、(a)(b)をともにみたすのは
4と5の最小公倍数20から3を引いた17から始まって、その後は、
20ごとに登場することがわかると思います。そうすると、
ビンゴを引くまでに書き出す数が少しでも減りそうです。
というわけで(a)(b)をともにみたす数を書き出していくと
17, 37,
おっともうビンゴや。(c)をみたしとるから。
あとはさっきの回答のとおり。

回答No.1

asuncion

どっちも、まずは目の子で1個目を探します。
初めの問いについて考えてみます。
4で割ると1あまる数は
1, 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29, 33, 37, ...
5で割ると2あまる数は
2, 7, 12, 17, 22, 27, 32, 37,...
7で割ると2あまる数は
2, 9, 16, 23, 30, 37, ...
というわけで37がビンゴです。この後は、
割る数、つまり4, 5, 7の最小公倍数である140ごとに
条件をみたす数が登場します。
よって、37, 177, 317, ...
より、300に最も近いのは317と分かります。

後の問いは、一度ご自分で考えてみてください。
方法は、上のとおりです。