中学生の数学です。

質問

こんにちは。　娘に「分からない・・・」と聞かれた問題です。
どなたか、分かりやすい解答をお願いします。

n を自然数とするとき、ｎ＜√a＜ｎ+１　となるような自然数 a の個数を n　を使って表しなさい。

√a　のパソコンでの入力もあやしい母です。すみません・・・

回答No.4

pricedown · ベストアンサー

この問題は「ｎが自然数」である点が実は重要です。ｎが自然数ということは、ｎは正の数です。まずはこの点を把握しましょう。

次に、正の数の性質に注目しましょう。
「正の数a, b, cの間に a < b < c が成立するとき、a^2 < b^2 < c^2 も成立する。」

これをも問題の式に当てはめて考えてみましょう。
n^2 < a < (n+1)^2
つまり
n^2 < a < n^2+2n+1
となります。
aはn^2よりも大きく、n^2+2n+1よりも小さい。

ここで、範囲内の要素の個数をカウントする問題の典型的な落とし穴。
個数をカウントする場合には、「境界」の捉え方が極めて重要です。
「n^2よりも大きく、n^2+2n+1よりも小さい」自然数の個数を
(n^2+2n+1)-n^2と捉えてしまうと、n^2+2n+1も個数にカウントしてしまいます。
つまり真の値よりも１つ多くカウントしてしまう。そうではなく、
「Ｘよりも大きく、Ｙ以下」または「Ｘ以上で、Ｙ未満」という捉え方が重要になります。
したがって「n^2よりも大きく、n^2+2n以下の」自然数の個数＝n^2が解答になります。

「境界」の捉え方については慣れが必要です。重要なことは出した答えが正しいかどうか、実際に式に当てはめて確認する習慣をつけることです。

お礼

詳しいご説明ありがとうございました。
娘もなるほど・・・と理解したようです。
助かりました。

回答No.3

info222_

No.1です。

ANo.2の補足です。

２乗数の書き方について

nの２乗を「^2」をnの後ろに付けて表します。
n^2は n の２乗で n×n の意味です。
(n+1)^2は n+1 の２乗で (n+1)×(n+1)の意味です。
（「^2」は2乗する数の左肩の上に2を書く表し方で、左肩の上に小さな文字が書けない場合の書き方で世界中で広く使われている書き方です。）

お礼

お恥ずかしながら、このような事も知りませんでした。
日々、勉強です・・・
ありがとうございました。

回答No.2

transcendental

ｎ＝２のとき、２＜√ａ＜３　より、４＜ａ＜９　これをみたす自然数ａは、５、６、７、８の４個です。（両端が含まれないので、９－４－１）
これを一般の文字ｎで一気に解きます。
ｎ＜√ａ＜ｎ＋１　より、ｎ＾２＜ａ＜（ｎ＋１）＾２
これから、求める自然数の個数は、
（ｎ＋１）＾２－ｎ＾２－１＝２ｎ（個）
となります。

お礼

ありがとうございました。
娘（中３生）は、すっきりした様子でした。
私は遠い記憶を呼び戻すのに必死です。
助かりました。

回答No.1

info222_

ｎ＜√a＜ｎ+１

n≧1なので、各辺２乗すると
n^2＜a＜(n+1)^2
n^2+1≦a≦(n+1)^2-1=n(n+2) …(★)
自然数aの個数=n(n+2)-n^2=2n …(答)

[検証]
n=1のとき　
　2≦a≦3 → aは2と3の2個　⇔ 2n=2個
n=2のとき
　5≦a≦8 → aは5～8の4個　⇔ 2n=4個
n=3のとき
　10≦a≦15 → aは10～15の6個　⇔ 2n=6個
　…

お礼

実際に整数をあてはめてみるといいのですね・・・
分かりやすい説明、ありがとうございました。