中学生の数学問題

質問

親戚の中学生に質問されて、どうしても解けない問題があるのですが（2問）、ご協力ください。

問　次のそれぞれのことを、関数（ｙをｘの式）で表しなさい。
　（１）自然数ｘの約数の個数はｙである。
　（２）小さい方からｘ番目の素数はｙである。

どうぞ、よろしくお願いします。

回答No.7

snxb0qk

以下の内容は中学数学の範囲を超えていますので、
お気に召さなければ無視してください。

まず、先の私の回答の(2)についての補足をします。
自然数nに対し、n 以下の素数の個数をpi(n)とすると、
pi(n)=Σ[j=2,n]( (sin(π*((j-1)!^2)/j))^2 /(sin(π/j))^2 ).

小さいほうから数えて k 番目の素数を p_k とすると、
p_k
=1+Σ[n=1,2^k] ([[k/(1+pi(n))]^(1/k)])
=1+Σ[n=1,2^k] ([[k/(1+Σ[j=2,n]((sin(π*((j-1)!^2)/j))^2 /(sin(π/j))^2 ))]^(1/k)])
-------(☆)

よってxを用いてyを表すと、
y=p_x
=1+Σ[n=1,2^x] ([[x/(1+Σ[j=2,n]((sin(π*((j-1)!^2)/j))^2 /(sin(π/j))^2))]^(1/x)].

次に、(1)については先の私の回答に誤りがありましたので、
訂正を兼ねて、ここに新たに回答します。

xを割り切る素数 p_k の最高べきを(p_k)^(e_k)とすると、
e_k は次式で与えられる。
e_k = Σ[j=1,x] ([1-x/(p_k)^j+[x/(p_k)^j]]).
よって、
y=Π[k=1,x](e_k+1) すなわち、
y=Π[k=1,x](Σ[j=1,x]([1-x/(p_k)^j+[x/(p_k)^j]]) +1). ------(★)

(★)に、(☆)で得られたp_kを代入すれば、xを用いてyを表す式が得られます。

以上のようにやれば(1),(2)の両方とも、yをxの式で表すことができます。

参考URL：

http://www.utm.edu/research/primes/notes/faq/p_n.html

回答No.6

quantum2000

基本的には、N0.4さんのご指摘でよいような気がしますが、２点ほど補足をしたいと思います。

まず、No.4さんのご指摘の中で、「ともにｙはｘに１対１で対応していますから「関数である」」というところは、(1)の約数の個数を表す関数については、１つのｙの値に対して、いくつものｘの値が存在しますから、１：１で対応ではありません。もちろん、ご指摘のように「１つの変数ｘに対してｙの値が１つだけ決定される」のですから、「ｙはｘの関数」であることに間違いはありません。

また、(1)の関数については、直接ｘからｙを表す式は知られていないと思いますが、間接的には、ｘを素因数分解して、
　　ｘ＝（ｐ１＾ｎ１）×（ｐ２＾ｎ２）×（ｐ２＾ｎ３）×・・・×（ｐｋ＾ｎｋ）
　　　　　（ここで、ｐ１，ｐ２，ｐ３，・・・，ｐｋは互いに異なる素数、
　　　　　　ｎ１，ｎ２，ｎ３，・・・，ｎｋは自然数）
と表したときに、ｘの約数の個数ｙは、（各素因数の次数＋１）の積、つまり、
　　ｙ＝（ｎ１＋１）×（ｎ２＋１）×（ｎ３＋１）×・・・×（ｎｋ＋１）
と表されます。この関数は整数論における関数で、約数関数d(x)などと書かれます。

回答No.5

snxb0qk

(1),(2)の両方とも、xを用いてyを表すことは可能です。
中学の数学の範囲を超えてしまいますが、例えば次のような
式です。

(1) y = Π[i=1,(εn)[(x_(n+1)=0)] ]((x)_i + 1)

(2) http://www.utm.edu/research/primes/notes/faq/p_n.html

回答No.4

littleredrooster

おそらく親戚のお子さんからの質問は、「ｙはｘの関数か？　また可能であればｙをｘの式で表せ」というものなのではないでしょうか？
現在の中学校数学では、１つの変数ｘに対してｙの値が１つだけ決定されるとき、ｙをｘの関数である、というぐあいに教えています。写像ってやつですよね。
ですから、今回の質問では、ともにｙはｘに１対１で対応していますから「関数である」という答えになります。
そして、他の皆さんがお答えになっていらっしゃるように、「ｙをｘの式で表」すことはできない、です。
ご参考まで。

回答No.3

tkm

私もそう思います
（1）はあえて書くならｘ＞ｙですかね＾＾；

素数に関しては素数を表す式があった気がしますが、それでも何番目かまでしか確認されてなかった気がします
あまり自信ないです。すいません

参考URL：

http://www.zexv.com/sosuu/

回答No.2

acacia7

(1) y=f(x)

(2) y=g(x)

っていうぐらいです（＾＾；
(1)についてはよくしりませんが、
(2)については順繰りに割り切れるかどうかチェックして（エラトステネスの篩）、素数で有るかどうかを決めている現状においては、単純な式で表すのは不可能かと。

回答No.1

redowl

「関数式で表すことはできない」が「答え」ではないでしょうか・・・