高校数学です。

質問

a^2(b－c)＋b^2(c－a)＋c^2(a－b)を因数分解するやり方を教えてください。共通部分を作るのは多分合ってるんですけど、作れても変に文字や式が残っちゃいます。

回答No.1

asuncion · ベストアンサー

a^2(b－c)＋b^2(c－a)＋c^2(a－b)
は、a, b, cのすべてについて2次だから、
どれかの文字についての2次式だと思って整理する。今回はaの2次式だと思うことにする。

与式
= (b - c)a^2 - (b^2 - c^2)a + b^2・c - b・c^2
= (b - c)a^2 - (b + c)(b - c)a + bc(b - c)
= (b - c)(a^2- ab - ca + bc)
= (b - c){a(a - b) - c(a - b)}
= (b - c)(a - b)(a - c)
まあここでやめてもええけど、
-(a - b)(b - c)(c - a)とする方がより美しいと考える数学教師もおるみたいやね。

お礼

()の外に－が付いてるものが答えになってました！とりあえずこういう問は1つの文字に着目します！ありがとうございました✨️

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回答No.2

kiha181-tubasa

複数の文字を含む整式の因数分解での「鉄則」は「１つの文字について降べきに順に整理する」ことです。その際に次数の低い文字について整理すると楽になります。この問題ではa,b,cのどれについても２次なので，「aについて降べきの順に整理」しましょう。

a^2(b－c)＋b^2(c－a)＋c^2(a－b)
でa^2の項は独立してa^2(b－c)となっていますが，aの項はb^2(c－a)＋c^2(a－b)に分散しているので，一旦展開してから整理します。
a^2(b－c)+b^2(c－a)＋c^2(a－b)
=a^2(b－c)+b^2c-b^2a+c^2a-c^2b
=a^2(b－c)-b^2a+c^2a+b^2c-c^2b
=a^2(b－c)-a(b^2-c^2)+bc(b-c)
　　　　(aをくくり出し)　(定数項(aを含まない項)も積の形に。たすき掛けのため)
=a^2(b－c)-a(b+c)(b-c)+bc(b-c)　(共通因数b-cが見つかりました)
=(b-c){a^2-(b+c)a+bc}
=(b-c)(a-b)(a-c)
=-(a-b)(b-c)(c-a)
　（輪環の順に整理しました。a-cがc-aに変わっているので前に－が付きます）

以上が鉄則です。鉄則に従うとほぼ「機械的に(あまたを使わずに)」できます。この基本は数学Ⅰの教科書の例題には必ず出ていると思います。