数学

質問

a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=1/2{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}

公式として覚えたのですがなんでこうなるんですか？

a^2+b^2+c^2-ab-bc-caの因数分解の途中式を教えてください。

回答No.3

sanori

こんばんは。
さっき同じ質問をされましたよね。
前回のinfo22さんの回答でパーフェクトです。
http://oshiete1.goo.ne.jp/qa4471465.html

締め切らずに同じ質問（ほぼ同じ質問でも）をするとどうなるかというと、
片方の質問がスタッフさんにより強制締め切りされ、回答にポイントをつけることができなくなります。
つまり、
回答者の皆さんに迷惑がかかるということです。

まず最初に、前回回答をinfo22さんに２０点つけて、早々に締め切ることを強くお勧めします。

一応、書きますが、
両辺を２倍して、
２ａ^2　＋　２ｂ^2　＋　２ｃ^2　－　２ａｂ　－　２ｂｃ　－　２ｃａ　＝　（ａ－ｂ）^2　＋　（ｂ－ｃ）^2　＋　（ｃ－ａ）^2
これを証明すればよいわけです。
（というのが info22さんの回答です。）

ここで右辺だけを計算します。
（ａ－ｂ）^2　＝　ａ^2　－　２ａｂ　＋　ｂ^2
という公式は、当然ご存知ですよね？

ですから、
右辺　＝　（ａ－ｂ）^2　＋　（ｂ－ｃ）^2　＋　（ｃ－ａ）^2
　＝　ａ^2 － ２ａｂ ＋ ｂ^2 ＋ ｂ^2 － ２ｂｃ ＋ ｃ^2 ＋ ｃ^2 － ２ｃａ ＋ ｃ^2
　＝　・・・
もうおわかりですね？

＞＞＞a^2+b^2+c^2-ab-bc-caの因数分解の途中式を教えてください。

え？
a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca　って因数分解できるんですか？
できないと思うんですが。

以上、ご参考になりましたら。

回答No.2

rphnn150

a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca
=1/2*a^2+1/2*b^2-ab +1/2*b^2+1/2*c^2-bc + 1/2*c^2+1/2*a^2-ca ・・（A）
=1/2(a^2+b^2-2ab + b^2+c^2-2bc + c^2+a^2-2ac)　・・（B)
=1/2{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2} ・・(C)

・（A)の処理
a^2,b^2,c^2をそれぞれ1/2にして、わける。因数分解の見通しがつきやすいように、各項を並び替える。
・(B)の処理
因数分解の見通しがつきやすいように、各項を並び替える。そして、全体を1/2でくくる。（ab→2abとなるので、見通しがたつ）
・(C)の処理
a^2+b^2-2bc = (a-b)^2に従い、因数分解をする。（終）

＞a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=1/2{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}
公式の成り立ちがわからない場合、まず右の式を展開してみるのも良い方法だと思います。今後悩むことがあれば、まず公式を展開してみては、いかがでしょう。
ご参考まで。

回答No.1

shiberian

右辺を展開していけば簡単な計算だけで左辺になると思います。
単に公式を証明したいだけなら、そう考えたほうが簡単ではないでしょうか。