行列式の因数分解

質問

｜a b c｜
｜c a b｜
｜b c a｜

行列式を因数分解するそうなのですが、
どうしてもこの問題を因数分解することが出来ません。
もしよかったら途中式つきで因数分解していただけないでしょうか
お手数ですが、よろしくお願いいたいます。

回答No.3

nakaizu · ベストアンサー

もう遅いかもしれませんが。
一番普通に考えるのは、1行目と2行目を3行目に足すことではないでしょうか。
そうすれば3行目は
(a+b+c,a+b+c,a+b+c)
となり、a+b+cをくくり出せます。残った
|a b c|
|c a b|
|1 1 1|
を普通に計算すればよかろうと思われます。

お礼

あ、ありがとうございます～

ちょうど授業でやったのですが、
これとまったく同じ解法でした。

回答No.2

zabuzaburo

行列式自体が立てられないのか、
それとも得られた行列式の因数分解ができないのか、
ご質問に明記される必要があると思います。
後者であれば、「ここまでは計算したが、
ここから先をどうすれば良いか分からない」
という式が書けるはずです。

以下、行列式の定義については大丈夫だという仮定のもとに説明します。
表記の都合上、行列を行ベクトルごとに分けて書きます。
|(a, b, c), (c, a, b), (b, c, a)|
= a|(a, b), (c, a)| + b|(b, c), (a, b)| + c|(c, a), (b, c)|
= a(a^2 - bc) + b(b^2 - ca) + c(c^2 - ab)
= a^3 + b^3 + c^3 - 3abc

この多項式は
= (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)
と因数分解されることが「公式」として知られています。
確認したければ展開すれば良いですね。

あえて発見的に求めるとすれば、まず最低次の1文字について整理します。
ここではどれについても3次なので、例えばaについて整理すると、
= a^3 + (-3bc)a + (b^3 + c^3)
= a^3 + (-3bc)a + (b + c)(b^2 - bc + c^2).
(b + c)(b^2 - bc + c^2)の部分はaにとっては定数項であり、
因数分解された状態を想像すれば
[a + (b + c)]あるいは[a + (b^2 - bc + c^2)]などで割り切れそうです。
もとの式がa,b,cについての対称式であることを考えると、
まっ先に[a + (b + c)]を試すべきですね。
筆算で「割り算実行」をすれば、
商はa^2 - (b + c)a + (b^2 - bc + c^2)、余りは0となり、割り切れます。
したがって前述の結果が得られます。
ちなみに、これ以上は因数分解できません。

お礼

詳しい解説までどうもありがとうございます。
後者だったのですが、
｜0 y β｜
｜0 z γ｜
｜x α Λ｜
という形に固持していて、まったくできませんでした。

どうもありがとうございます。

回答No.1

First_Noel

｜a b c｜
det｜c a b｜ = a^3 + b^3 + c^3 - 3abc
｜b c a｜

= (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - bc - ca - ab)

お礼

なるほど・・・
展開して素直にとけばよかったのですね。
参考になりました。
どうもです。