高1数学

質問

次の式を計算せよ
（a+b+c）^２+（b+c-a）^２+（c+a-b）^２+（a+b-c）^２
この答えは4a^2+4b^2+4^2になるんですが、どうしても2a^2+2b^2+2c^2+4ab-4ｂｃ+4caになってしまいます
どうやったら前者の答えになるんでしょうか？

もうひとつあります
次の式を因数分解せよ
a^3（b-c）+b^3（c-a）+c^３（a-b）
この答えは-（a-b）（b-c）（c-a）（a+b+c）です
しかし、計算すると途中で終わってしまいます・・・
どうやったらこの答えにたどり着けるのでしょうか？

質問が多くてすいません
よろしくお願いします

回答No.1

suko22 · ベストアンサー

(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca （←公式として使えようにしてください）

これを使って展開します。
(a+b+c)^2+(b+c-a)^2+(c+a-b)^2+(a+b-c)^2
=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca
+b^2+c^2+a^2+2bc-2ca-2ab
+c^2+a^2+b^2+2ca-2ab-2bc
+a^2+b^2+c^2+2ab-2bc-2ca
=4a^2+4b^2+4c^2

a^3(b-c)+b^3(c-a)+c^3(a-b)
一度展開して、aについてまとめてみます。
=a^3b-ca^3+b^3*c-ab^3+c^3*a-bc^3
=(b-c)a^3-(b^3-c^3)a+b^3*c-bc^3
=(b-c)a^3-(b-c)(b^2+bc+c^2)a+bc(b+c)(b-c)
=(b-c){a^3-(b^2+bc+c^2)a+bc(b+c)}
{　}の中をもう一度展開しbについてまとめてみます。
=(b-c)(a^3-ab^2-abc-ac^2+b^2*c+bc^2)
=(b-c){(c-a)b^2+(c^2-ca)b+a^3-ac^2}
=(b-c){(c-a)b^2+c(c-a)b-a(c+a)(c-a)}
=(b-c)(c-a){b^2+cb-a(c+a)}
{　}の中をもう一度展開して整理します。
=(b-c)(c-a)(b^2+bc-ca-a^2)
=(b-c)(c-a){(-(a+b)(a-b)-c(a-b)}
=-(b-c)(c-a)(a-b)(a+b+c)

展開、因数分解は計算パターンは大抵同じです。
たくさん問題演習して、計算脳を作りましょう。

お礼

ありがとうございます！