因数分解or約分

質問

例えば次のような式があったとします。

(a+1)(b+2)(c+3)=(a+1)(b+3)(c+4)

この式は、(a+1)が共通因数ですよね。この場合、
私は、右辺の(a+1)(b+3)(c+4)を左辺へ持ってきて、
(a+1)でくくって、因数分解をしたのですが、
先生は(a+1)で約分されていました。
いままで、気にとめなかったのですが、因数分解する
ときと約分をするときの判断基準は何でしょうか。
「すべての単項式に共通の因数aがあったらaで約分で、
一部の共通因数bがあったらbで因数分解する。」
ということでしょうか。よろしくお願いします。

回答No.4

stomachman · ベストアンサー

お間違いなきよう。
「ゼロで割ったら不定」なのではなく、「ゼロで割ってはならない」のです。

(a+1)で約分するのは、従って(a+1)≠0である場合に限って可能です。

ご質問の通り(a+1)を括りだした場合、因数分解の結果は
　(a+1) (約分したときの因数分解の結果) = 0
という式になりますね。
この式の左辺が0になるのは、
　(約分したときの因数分解の結果)=0 であるかまたは (a+1)=0　である
ときですから、(a+1)=0の場合も正しく含まれているわけです。

「ゼロで割ったら不定」を認めるとなんで駄目か。数学基礎論に於ける「体」という概念をちょっと勉強しないとね。

お礼

＞お間違いなきよう。
「ゼロで割ったら不定」なのではなく、「ゼロで割ってはならない」のです。

そ、そうなんですか。これまでそう教えられてきたので、そう考えておきます。

＞ご質問の通り(a+1)を括りだした場合、因数分解の結果は
　(a+1) (約分したときの因数分解の結果) = 0
という式になりますね。
この式の左辺が0になるのは、
　(約分したときの因数分解の結果)=0 であるかまたは (a+1)=0　である
ときですから、(a+1)=0の場合も正しく含まれているわけです。

なるほど、確かに(a+1)=0のときを含んでいるしそのほかの場合も(約分したときの因数分解の結果)=0 という形で含んでいますね。どうすれば約分すればよいのかよくわかりました。ありがとうございました。

回答No.6

noname#7269

こんにちは！
さて、（ｘ－１）（ｘ＋１）＝（ｘ－１）（２ｘ＋３）
はどのようにして解きますか？
よくいますよね、これをすぐにｘ＋１＝２ｘ＋３
にして、ｘ＝－２とする方が（というか生徒が）
いつのまにか２次方程式が１次方程式になっている！
安易にやっちゃだめですよね。
上の場合、因数分解をして
（ｘ－１）（ｘ＋２）＝０
ｘ＝１、－２　ときちんと二つでてきます。
なので条件でもあれば別ですが、
ａはー１でないなら割ってもかまいません。
場合分けをしたりしないとね。
因数分解と約分するときの判断基準は、０になる可能性があるもので割ってはいけない。というか、０ではないものでならば割れるということでしょうか？
質問している人に合わせた回答を心がけているのでこんなもんでよろしいでしょうか？

お礼

お返事していただいてありがとうございました。
＞ａはー１でないなら割ってもかまいません。
場合分けをしたりしないとね。

なるほど、もしわるのであれば、aについて場合分けをすればよいのですね。でもこの場合は、a≠-1 のときと、a=1のときと、場合分けするよりも、aの条件が与えられていない場合は、a≠-1 のときと、a=1のときが両方含まれるように因数分解して、解を出すということですね。どうもありがとうございました。

回答No.5

maruru01

そもそも、このように、等式になっているものを、
「因数分解せよ」
という問題なんてあるんでしょうか？
普通は、
「a^2-b^2 を因数分解せよ」
というかんじで、答えが
「(a+b)(a-b)」
ということになります。
この等式に対してどのような質問をされたのですか？

補足

すいません、ある問題の途中の式変形のところで、質問のような形の式が出てきて、私が因数分解しようとしたのに対し、先生がサッと約分したので、なぜそうなるのかなと思いました、質問いたしました。決して、「因数分解せよ」という問題ではないです。誤解を招く表現だったことをお詫びいたします。

回答No.3

noname#67964

nabayoshさんのおっしゃるとおり、
本来まず a+1≠0 つまり a≠-1ということを確認しなければなりません。
（おそらくはそのような提案はなく、問題or先生は暗黙の了解のつもりでしょうが）
a+1=0の場合、両辺を0で割ったことになり、それではマズいことになります。

新幹線が雪で止まっているとき（速度=0）に
いつになったら東京へ着くか？と聞かれたら、
誰だって「いつ着くかわからない！」と答えそうなものです。

0で割ってはいけないのではなく、
0で割った答えは「定義不能（わからない）」なのです。

わからない＝道のり÷速さ（=0）ということですからね。

話を本筋に戻すと、「約分は出来るときにすぐする」が基本です。

あくまで基本です。そうじゃないときもあります。
じゃあ、そうじゃないときって？
という話になりますが、それはここで約分しない方が結果的に速くて簡単、というときです。
20/100x + 12/100(300-x) =15/100×300
という方程式を変形するのに
1/5x + 3/25(300-x) = 45
とすると、結局通分しなければなりませんよね。
こういうときは約分よりも両辺を100倍することの方が優先です。（例がよくないかなぁ？）

この問題ではそのようなことはありませんから約分(?)が先です。

お礼

＞新幹線が雪で止まっているとき（速度=0）に
いつになったら東京へ着くか？と聞かれたら、
誰だって「いつ着くかわからない！」と答えそうなものです。

0で割ってはいけないのではなく、
0で割った答えは「定義不能（わからない）」なのです。

なるほど、わかりやすいたとえですね。商どの数かわからない＝任意 ということですね。

＞20/100x + 12/100(300-x) =15/100×300
という方程式を変形するのに
1/5x + 3/25(300-x) = 45
とすると、結局通分しなければなりませんよね。
こういうときは約分よりも両辺を100倍することの方が優先です。

式の形を見て、約分してから、もう一回通分するのも手間がかかりますね。上の式の場合、約分してから、両辺に25を掛けてもいいですね。まあその辺は自由ということでしょうか。お返事どうもありがとうございました。

回答No.2

miDumo

ご質問の様子だと、
　・なぜ、右辺を左へ移項して（a+1）でくくらず、
　・両辺を（a+1）でわったのか？
と言うことですよね？

約分する方法の極意は、　

　　「消せるものは最短の方法で消せ。」

ですので（笑　わざわざ移項して括って消すより、両辺に共通因数がある場合、その因数で両辺を割ってしまえば、最短の方法で約分が可能です。因数分解する前に約分してよけいな因数を消すことで、間違えるリスクも減り、分解しやすくなります。

お礼

＞約分する方法の極意は、　

　　「消せるものは最短の方法で消せ。」

なるほど、その考え方でいきたいと思います！
ご回答ありがとうございました。

回答No.1

nabayosh

まず、aは-1ではないかということを考えなくてはなりません。
aが-1だと、この等式はbやcにかかわらず成立します。

で、aが-1でなかった場合は、a+1で割ることができます。
なぜなら、aの値がいくらであろうとも、bにもcにも影響はないからです。

で、、いいのかな・・・

お礼

お返事どうもありがとうございます。
＞aは-1ではないかということを考えなくてはなりません。
なるほど、0でわってはいけないということですね。ここで、もしaが-1でないとして、因数分解した時は、

(a+1)(b+2)(c+3)=(a+1)(b+3)(c+4)
(a+1){(b+2)(c+3)+(b+3)(c+4) = 0
になりますよね。ここで、積の形だから、
(a+1)=0 or {(b+2)(c+3)+(b+3)(c+4) = 0
と場合分けしてしまったのですが、ここでは
a=-1ではないことが確認されているので、(a+1)=0
の場合は起こりえず、{(b+2)(c+3)+(b+3)(c+4) = 0
の場合だけを考えるから、はじめから、(a+1)は解に影響を与えずいらないから約分して消去するということですね。
お返事どうもありがとうございました。