高校の数学(数学I)因数分解

質問

数学Iの因数分解の問題なのですが、
a(3)+b(3)+c(3)-3abcを因数分解して((2)、(3)は二乗、三乗)
(a+b+c)(a(2)+b(2)+c(2)-ab-bc-ca)とするときの計算(？)方法として、
どんなものがあるでしょうか。できるだけ簡単な方法があれば教えていただきたいのですが。

回答No.1

debut · ベストアンサー

覚えれば一番速いが・・

^2は２乗です。
Ａ^3＋Ｂ^3=(Ａ＋Ｂ)(Ａ^2－ＡＢ＋Ｂ^2)・・☆と
Ａ^3＋Ｂ^3=(Ａ＋Ｂ)^3－３ＡＢ(Ａ＋Ｂ)・・★を使い、

a^3+b^3+c^3-3abc
・b^3+c^3部分を★で
=a^3+(b+c)^3-3bc(b+c)-3abc
・a^3+(b+c)^3を☆で
={a+(b+c)}{a^2-a(b+c)+(b+c)^2}-3bc(b+c)-3abc
・２番目の{ }を展開
=(a+b+c)(a^2-ab-ca+b^2+2bc+c^2)-3bc(b+c+a)
・共通因数(a+b+c)でくくって
=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)

ところで、正攻法はどんなんですか？

お礼

回答ありがとうございます。返事が遅れてすいません。
★の公式の存在を忘れてしまってました。
＞正攻法というか、(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)-X=a^3+b^3+c^3-3abcという問いが先にあり、この問題を利用して解けという出題方式でした。

回答No.4

noname#58425

No.1の方の通り，覚えるのが一番速いのは確かですが……
a(3)+b(3)+c(3)を作るには，(a+b+c)[a(2)+b(2)+c(2)]みたいなものが必要ですが，これでは余計な項がたくさん出てくるのでそれを排除する必要があります。「余計な項」とは：
[a(2)](b+c)+[b(2)](c+a)+[c(2)](a+b)
ですね。これを排除したいのです。そのために，
(a+b+c)[a(2)+b(2)+c(2)-●]
という形に持ち込むことを考えます。もちろん●は多項式を示します。
また，この式は，a,b,cの3文字について対称な形をしています(対称式です)。ですから，●に現れるのも，a,b,cの3文字について対称な形であるのは想像できると思います。すると，形はかなり限られてきます。
上の式をすべて展開したとき，そこに出てくる項は，□(1)×■(2)という形をしています。
すると，
(●のなかの1つの項)×(a,b,cのうち一文字)＝□(1)×■(2)
となり，
(●のなかの1つの項)は，□(1)×■(1)か，■(2)だろうということになりますが，後者は，まさにa(2),b(2),c(2)であり，多分不適です。すると，(●のなかの1つの項)というのは，□(1)×■(1)のような形をしている事になります。abcの3文字について対称なので，ab+bc+caとなるのが何となくわかるのではないでしょうか。

覚えるだけなら厳密な議論は必要ないと思います。感覚で覚えてください。

お礼

回答ありがとうございます。
返事が遅くなりました。

回答No.3

nettiw

ANo.2　です。まちがえました。訂正します。

誤　　　　下から４行目。

=｛(a+b)+c}【　[｛(a+b)+c}^2] - 3(a+b)c 】 - 3ab

正

=｛(a+b)+c}【　[｛(a+b)+c}^2] - 3(a+b)c 　 - 3ab】

回答No.2

nettiw

[a^3}+[b^3]+[c^3]-3abc

=【　[a^3}+[b^3] 】 + [c^3] - 3abc

=【　[(a+b)^3] - 3ab(a+b) 】 + [c^3] - 3abc

=【　[(a+b)^3] + [c^3] 】 - 3ab(a+b) - 3abc

=【　[｛(a+b)+c}^3] - 3(a+b)c｛(a+b)+c} 】 - 3ab｛(a+b)+c}

=｛(a+b)+c}【　[｛(a+b)+c}^2] - 3(a+b)c 】 - 3ab

=(a+b+c)【　[｛(a+b)+c}^2] -3ac-3bc-3ab 】

=(a+b+c)【 (a^2)+(b^2)+(c^2)+2ab+2bc+2ca -3ac-3bc-3ab　】

=(a+b+c)｛(a^2)+(b^2)+(c^2)-ab-bc-ab}　　。

お礼

回答ありがとうございます。
返事が遅くなりました。