初めての問題

質問

数aに対して《a》は,
aが0以上の整数のとき　aを12でわった余り
aが0以上の整数ではない時　-1
を表すものとします。

(１)《xの2乗+4x》＞8を満たす数xは0≦x≦100の範囲に全部で何個あるでしょうか？

(２)《xの2乗+4x》＞8を満たす整数xは0≦x≦100の範囲に全部で何個あるでしょうか？
xx＝x^2（xの2乗）

こういう問題に初めて遭遇しました。
詳しく教えてくださる方、お願いいたします。

回答No.3

noname#8027 · ベストアンサー

まず、0≦x≦100の時の (x^2+4x)の取りうる範囲を求めます。
#1さんの答えている通りです。
0≦x^2+4x≦10400
《a》の定義と、この範囲から考えると、
「0以上10400以下の範囲に12で割った余りが８より大きくなる整数は全部で何個あるでしょう？」
という問題に置き換えることができます。
##(x^2+4x)が整数でない場合は、-1となるので論外。考えなくても良いことになります。

(2)は、(x^2+4x)の取りうる範囲が連続ではなく、とびとびになります。（ｘが整数の時なので）
そこで、12で割った余りが、８より大きくなるかどうか調べるためには、#1さんの答えている場合分けをします。

ややこしい問題のようですが、８より大きいというのは、－１になる場合は関係ないので、実質、自然数の問題となります。y=x^2+4x において、yが整数なのか、xが整数なのかが(1)と(2)の違いです。

お礼

とても丁寧に分かりやすいですありがとうございました。

回答No.2

unnamed

(1)に回答します。

[[x^2+4x]]>8
で、[[ ]]の中は整数しか採らないようなので、
[[x^2+4x]]=9,10,11
の３通り。従って、以下のように表せます。
(i) x^2+4x=12k+9
(ii) x^2+4x=12k+10
(iii) x^2+4x=12k+11
但し、k=0,1,2,3,...
これらは全部ｘについての２次方程式ですね。

(i)を解いてみると、
x=-2±√(12k+13)
です。0≦x≦100の場合しか考えないので、
x=-2+√(12k+13)
で充分です。これで0≦x≦100となるｋを探せばいいでしょう。
k=0,1,2,3,...,865
となると思います。なので866個

(ii)と(iii)も同様の方法で、それぞれ866個、866個を導きました。従って答えは、
866+866+866=2598個だと思います。

お礼

とても丁寧に分かりやすいですありがとうございました。　細かな所まで納得です。

回答No.1

noname#24477

まず条件を満たすためにはx^2＋4x　が整数でないといけない。
（１）と（２）の違いは分かりますか？

（１）ｘ＝１００のときx^2+4x＝１０４００
ここまでの値を全部とりますから（グラフから明らか）
その中で１２で割って余りが８より大きい数を考えます。
ｘで考えるのでなく１から１０４００までの整数で考えればよい。
（１２個ずつ区切って９，１０，１１の３個だから
全部で・・・・）

（２）１２ｋ＋１から１２ｋ＋１１までで調べてみればよい。ｘがどのタイプの整数か分かります。

お礼

とても丁寧に分かりやすいですありがとうございました。