素因数分解でわからない問題があります。教えていただ

質問

けますでしょうか。
勉強していて、下記の問題がどうしてもわかりません。
解答はついているのですが、考え方がわかりません。
教えていただけないでしょうか？
問い
５６にできるだけ小さい自然数をかけて、ある整数の二乗にしたい。どんな数をかければよいか？

素因数分解はできるのですが（２の３乗X７）、その後の考え方がわかりません。
ちなみに答えは２X7=14　です。
解説に、56=2の３乗ｘ７＝２の２乗ｘ（２ｘ７）　よって、２ｘ７＝１４とありますが、
この解説がまったく理解できません。　２ｘ７＝１４が何を意味するのかがわかりません。
どう考えればよいのでしょうか？

同じく
３６０を自然数でわって、ある整数の２乗にしたい。どんな数でわればよいか？
という問いも、素因数分解から先の考え方がわからず、解けません。
（答え１０，４０，９０，３６０）。

どなたか　解き方（考え方）を教えていただけますでしょうか。

回答No.3

halcyon626 · ベストアンサー

５６×１４＝７８４ですね・・・
そして、７８４＝２８＾２

取り敢えず、５６を素因数分解すると、
５６＝２＾３×７。これは、いいですね？
この段階で、２×２は２の２乗になってるので、残りの２×７も２乗になるように２×７＝１４をかけたワケです。
もっと分かりやすく、問題から、
５６×○○＝X＾２とします。
そこで、X＾２=２＾３×７×○○です。
ここで、X＾２＝A＾２×B＾２としたらどうでしょう？
A＾２×B＾２＝(AB)＾２＝X＾２であることは分かりますよね？
つまり問題から、５６に自然数をかけてX＾２にすることは、(AB)＾２にすることと同義なのです。
なのでまず始めに、５６＝２＾２×２×７より、２の２乗の形になってるので、２＾２を省きます。
そして、２×７を２乗の形にするにはどうするか？そう、２×７をかけるのです。
こうすることで、
５６×○○＝２＾２×(２×７)＾２＝(２×２×７)＾２となり、
求める自然数○○は、２×７＝１４となります。

これに限らず、２乗が増えるようなら、
○○×□□＝２＾２×３＾２×・・・・
○○×□□＝(ABC・・・)＾２
といったように、２乗する文字を増やしていかなければなりません。

次に、３６０について、
３６０＝２＾３×３＾２×５
これより、３６０を△△で割って、X＾２にするんです。
この△△は、右辺から推測します。
(A)３６０＝２＾２×３＾２×２×５にして、
両辺を２×５で割れば、左辺は２＾２×３＾２＝(２×３)＾２になります。
よって、割る数は２×５＝１０
(B)３６０＝３＾２×２＾３×５にして、
両辺を２＾３×５で割れば、左辺は３＾２になります。
よって、割る数は２＾３×５＝４０
(C)３６０＝２＾２×２×３＾２×５にして、
両辺を２×３＾２×５で割れば、左辺は２＾２になります。
よって、割る数は２×３＾２×５＝９０
(D)３６０＝２＾３×３＾２×５より、
両辺を２＾３×３＾２×５で割ると、左辺は１＝１＾２
よって、割る数は２＾３×３＾２×５＝３６０

となり、回答を満たします。
考え方さえ理解できれば、問題式を分解して、回答の推測、証明で済みます。

参考までに、

お礼

ありがとうございました。
２問ともにやっと理解できました。

回答No.4

tomokoich

56=2^3×7を
=2^2×(2×7)にするのはわかりますよね
すると2の方は二乗になっているので

残りの2×7にある数nをかければ56の二乗の数になります。
(2×7)×n=(2×7)^2
このnが最小になるのは2×7=14しかありませんので14です

360=2^3×3^2×5
=2^2×3^2×2×5
と素因数分解できるので
今度は360をある数で割って二乗になるのは
(2×3)^2になる時---->割る数2×5=10
3^2になる時---->割る数2^2×2×5=40
2^2になる時---->割る数3^2×2×5=90
1^2になる時---->割る数360
の４つになります

お礼

おかげでりかいできました。
ありがとうございます

回答No.2

osaka-girl

56を素因数分解すると
2ｘ2ｘ2ｘ7
ですね。

一方、整数☆の２乗とは☆×☆と
書けるということですね
星を素因数分解して△×□なら
（△×□）×（△×□）
ですよね
これをみて分るのは２乗になるためには
右と左に同じ素因数が並ぶということ
なのです。

ということはそれぞれの素因数がすべて
２の倍数個ある（つまり偶数個ある）数
は何かの２乗になっているということと
同じなのです。

さて５６に戻ると素因数は２が三個７が1個ですね
どちらも個数は奇数ですので、偶数個にするため
には、２をひとつ、７をひとつかけてやれば
良いことが分ります
そうすると出来た数は
２×２×２×２×７×７
ですから
（２×２×７）×（２×２×７）
となり
28×28ですので28の2乗です
一方360の場合
2×2×2×2×2×2×2×5
ということで2が7個、5が1個ですね
ある数☆で割り算するということは、かける☆
がなくなるのと同じなので、さっきの問題と逆に
へらすことで偶数個にすればよいのです。
5×2で割ると2が6個になります
5×2×2×2で割ると2が4個になります
5×2×2×2×2×2でわれば2が2個になります
このパターンに
1は1の二乗であることを加えれば答えになります。

お礼

ありがとうございます。
よく読んでみます。

回答No.1

m0r1_2006

整数 n を素数 p1, p2, ... と指数 q1, q2, ... で

n= (p1 の q1 乗)x(p2 の q2 乗)x...

と表して，２乗すると，

n の２乗 = (p1 の 2 q1 乗)x(p2 の 2 q2 乗)x...

と指数の部分が 2 倍される．

ということで，ある整数の２乗になるなら，全ての指数は偶数です．

56 = 2^3 x 7

なので，2 の指数を偶数にするには 2 が一個必要，
7 の指数を偶数にするには 7 が一個必要です．

360 = 2^3 x 5 x 3^2

なので，全ての指数を偶数にするには，2 と 5 を一個取り除くなど

お礼

ありがとうございます。
よく読んでみます。