算数の問題/小学生にわかりやすく教えるにはどうしたら？

質問

個別指導で英語の教師をしています。
小学6年生にラサール中の過去問を教えていますが、算数の問題でどうしても解けない問題があり、更にこれを小学生でもわかるように説明するにはどうしたらいいか悩んでいます。
色々な人に尋ねたり調べたりしてみたのですが、納得できるようないい解説が見当たらず、こちらに質問させて頂くこととしました。
申し訳ありませんが、ご助力頂ければ幸いです。

等式x=2×a+5×bがある。a,bに入れる数は１以上の整数とする。
例：x=30となるa,bの入れ方はa=5,b=4とa=10,b=2の二つがある。
次の問題に答えなさい。

問.１以上の整数のうち、「a,bにどのような数を入れても上の等式で表すことができない」という理由から、xに入ることがない数は全部でいくつあるか。

回答No.8

fusem23 · ベストアンサー

２と５の最小公倍数が１０なので、１０で区切ります。
01 02 03 04 05 06 07 08 09 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

b=1の時、a=1ならx=7 なので 7の列をすべて消します。
a=2ならx=9 なので 9の列をすべて消します。
a=3ならx=11 なので 1の列の11以降をすべて消します。
同様に、3の列の13以降, 5の列の15以降をすべて消します。
b=2の時、a=1ならx=12 なので、2の列の12以降をすべて消します。
同様に、4の列の14以降、6の列の16以降、8の列の18以降、10の列の20以降をすべて消します。
これで残ったのが答えです。

お礼

こんばんは、ご回答ありがとうございます！！

非常にわかりやすく、説明もしやすそうな感じです。
２，５の最小公倍数を使うことで公倍数を見つけやすくなるんですね！
説明の参考とさせて頂きます。

丁寧な解説をありがとうございました！！！

回答No.7

noname#140971

失敗！
よって、キャンセル！

お礼

途中まで(？)ご説明を頂いて、ありがとうございました。
ご好意がとても嬉しかったです。

皆さま非常に丁寧な解説を紹介して下さり、私自身も問題の解き方を把握することができました。
たくさんのわかりやすい解説を頂くことができましたので、質問を締め切らせて頂こうと思います。
明日、皆さまの解説を下に頑張って説明してみようと思います。

ご回答頂いた皆さま、ありがとうございました！

回答No.6

noname#140971

X=2*A+5*B

＞１以上の整数のうち、
＞A,Bにどのような数を入れても上の等式で表すことができない
＞Xに入ることがない数は全部でいくつあるか。

**と*****の他に*と***があれば、全ての数字は作れます。

*=***** - ** **
***=** ** ** ** - *****

つまり、

**/** **/** ** **
*****

が揃えば良い。

** + ***** = 7
** ** + ***** = 9
** ** ** + ***** = 11

が組合せ。
ここまでで欠落している数字は 1,2,3,4,5,6,8,10の8通り。
それ以上は、全ての数字は作れるので存在。

お礼

ご返答、ありがとうございました！

紹介していただいた解法ですが、まず１、２、３、５が入らず、等式にこれらの数をあてはめて出てくる４、６も等式にあてはまらない。
７，９，１１の三つも等式から出すことができるので、１～６と７，９，１１の間にある偶数８，１０も等式にあてはまらない、ということがわかるということでしょうか？

上手く説明できませんが、お話の通りになることは理解できました。
本当にありがとうございました！！

回答No.5

don9don9

aもbも1以上の整数なので、
xで考えられる一番小さい数はa=1、b=1の場合の「7」となります。
それより小さい数を表すことはできません。

次にb=1として、a=1ならx=7、a=2ならx=9、a=3ならx=11…となります。
つまり、b=1とし、aを1ずつ増やしていくことで
7以上の奇数は全て表すことが出来ます。

次にb=2の場合、a=1ならx=12、a=2ならx=14、a=3ならx=16…となります。
つまり、b=2とし、aを1ずつ増やしていくことで
12以上の偶数は全て表すことが出来ます。

よって答えは、1～6の6つと、12より小さい偶数（10、8）
合わせて8つ、だと思います。

お礼

お早いご回答、ありがとうございました！

(1)bに１をあてはめると７以上の奇数を表すことができる
(2)bに２をあてはめると１２以上の偶数を表すことができる

(1)、(2)より少なくとも１２までの数の中に、今回の等式にあてはまらない数があることがわかり、更に(1)の条件より７以上の偶数を表すことができないことがわかるので、最小の数a=1,b=1をあてはめた時の数７以下である１～６と、８，１０が等式に適合しないとわかるのですね。

本当にありがとうございました！
丁寧にご説明頂き、非常に助かりました。
明日早速生徒に会うので、頑張って説明しようと思います！

回答No.4

sanori

すみません。

７番目と８番目の作業を書き忘れました。

さっきの回答への追加の形で書きます。

７．
次に、１３ですが、
１３　＝　２×３　＋　７×１
で実現できます。
１３、および、１８，２３，２８，３３・・・・・を全部×で消します。

８．
次に、１５ですが、
１５　＝　２×４　＋　７×１
で実現できます。
１５、および、２０，２５，３０，３５・・・・・を全部×で消します。

以上で作業は終わりです。すべての数に○か×がついたはずです。
丸がついたのは、
１，２，３，４，５，６、８，１０
の８個です。

失礼しました。

お礼

ご返答ありがとうございます！

ご説明の通りやってみると、きちんと全ての数に○がつきました。
どうして○がつくのかも、よくわかりました！

一つだけ、質問させて頂いてもよいでしょうか？？
最初に数字を並べる時、五個ずつ並べたことには何か理由があるのでしょうか？もし何か理由があるのであれば、それも説明して頂けると幸いです。

回答No.3

noname#227064

b = 1とおいた場合、x = 2a+5となり、
aは1以上の整数なので、7以上の奇数はすべて表すことができます。
b = 2とおいた場合、x = 2a+10となり、
12以上の偶数はすべて表すことができます。
したがって、1から6, 8, 10が2a+5bで表すことができない。

お礼

お早いご回答、ありがとうございました！

(1)bに１をあてはめると７以上の奇数を表すことができる
(2)bに２をあてはめると１２以上の偶数を表すことができる

(1)、(2)より少なくとも１２までの数の中に等式にあてはまらない数があることがわかるんですね。更に(1)の条件より、７以上の偶数を表すことができないことがわかるので、最小の数a=1,b=1をあてはめた時の数７以下である１～６と、８，１０が等式にあてはまらないということがわかるということですね。

わかりました！
丁寧にご説明頂き、ありがとうございました。
頑張って説明してみようと思います！

回答No.2

sanori

こんばんは。

まず、このような数字表を作ります。
１行に５個あるところがミソです。

1 2 3 4 5
6 7 8 9 10
11 12 13 14 15
16 17 18 19 20
21 22 23 24 25
26 27 28 29 30
31 32 33 34 35
36 37 38 39 40
41 42 43 44 45
46 47 48 49 50

小さい数から順番に見ていきます。

１．
まず、ａ、ｂに入る数は１以上ですから、
７未満の数は、式で実現できません。
つまり、１，２，３，４，５，６　は答えになります。
１，２，３，４，５，６　を丸で囲みます。

２．
次に、７ですが、
７　＝　２×１　＋　２×５
なので、実現できます。
７を×印で消します。
そして、７の下にある数（１２，１７，２２，２７・・・）も、５を足していけば実現できる数なので、全部×で消します。

３．
次に、８ですが、式を実現できません。
８を丸で囲みます。

４．
次に、９ですが、
９　＝　２×２　＋　５×１　で実現できます。
９、および、１４，１９，２４，２９・・・・・　を全部×で消します。

５．
次に、１０ですが、式を実現できません。
ですから、１０に丸をつけます。

６．
次に、１１ですが、
１１　＝　２×３　＋　５×１
で実現できます。
１１、および、１６、２１，２６、・・・・・を全部×で消します。

以上で作業は終わりです。すべての数に○か×がついたはずです。
丸がついたのは、
１，２，３，４，５，６、８，１０
の８個です。

以上、ご参考になりましたら。

回答No.1

kotaro3216

x=2Ｘa+5Ｘbを変形してx=2Ｘa+(4+1)Ｘb
さらにx=2(a+2b)+bとします。
するとxの値は偶数＋整数となり、正の整数すべてを表すことができます。ただしa,bは１以上なのでxの値はa=1,b=1のとき最小となります。
そのときのxの値は７となります。ですからxは６以下の正の整数の値はとりません。

お礼

お早いご返答、ありがとうございました！
１～６の整数は等式の条件にあてはまらないので、確実にこの等式には適合しないということですね。わかりました！
頑張って説明を考えてみようと思います。本当にありがとうございました！