数学1A 整数の性質の問題です。

質問

（x－n)(ay-n)=n^2ー(✳︎)

※n^2はnの二乗です。

pを素数とし、a＝1、n＝pとする。
(✳︎)を満たす整数x、yの組は全部で「タ」個ある。このうちyが最大となるものは、
x=p+「チ」、y=p(p+「ツ」)である。
このとき、yを4で割ったときの余りが2となるような40以下の素数pは全部で「テ」個ある。

タ＝6
チ＝1、ツ＝1
テ＝6

ツまでの答えは求められたのですが、最後のテが求められませんでした…。
解答解説よろしくお願いします！

回答No.1

f272 · ベストアンサー

pは40以下の素数なのだから
p=2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37
についてy=p(p+1)を4で割ったときの余りが2となるかどうか確認すればよい。

もう少し賢くなれば，最初からpを4で割った余りを計算しておきます。
pは素数なのだから，p=2を除いて，pを4で割った余りは1または3です。このうちp≡1(mod 4)のときはy=p(p+1)≡2で，p≡3(mod 4)のときはy=p(p+1)≡0です。
p=2のときはy=p(p+1)≡2です。
以上から，y=p(p+1)を4で割ったときの余りが2となるのは，pを4で割った余りが1のときと，p=2のときです。