（急） 2次不等式の問題 ２題

質問

以下の問題の解答・解説を教えてください。

１、2次不等式x2乗-（k+3）x+3k＜0を満たす整数xが存在しないように、定数kの値の範囲を定めよ。

２、次の２つの２次不等式を考える。
　　x2乗－2x＜0…(1)　、　2x2乗－（2a－1）x－a＜0…(2)
　　(1)を満たすすべてのxが、(2)を満たすように、定数aの値の範囲を定めよ。

回答No.1

Dr-Field · ベストアンサー

１．f(x)＝x^2-（k+3）x+3k＝(x-3)(x-k)とおく。y=f(x)のグラフは、下に凸の二次方程式であり、ｘ軸の交点はx=3とx=kであるから、3とkの間に整数が入ってはいけないことになる。また、f(3)=0、f(k)=0。
(1)3<Kのとき、f(4)≧0までは題意を満たす。すなわち、16-4(k+3)+3k≧0 → -k+4≧0 → 4≧k
(2)3=kのとき、f(x)=(x-3)^2≧0であるから、題意を満たす。
(3)k<3のとき、f(2)≧0までは題意を満たす。すなわち、4-2(k+3)+3k≧0 → k-2≧0 →k≧2

以上より、2≦k≦4が求める答えとなる。

２．(1)・・・x(x-2)<0と式変形できるから、0<x<2が導かれる。一方、(2)・・・(2x+1)(x-a)<0と式変形できる。これを満たすｘの範囲が、(1)での0<x<2の範囲を含めばよいことになる。
　　↓
(1')-1/2<aの場合、-1/2<x<aとなり、求める答えは2<a
(2')a=-1/2の場合、(2)の式は(x+1/2)^2<0となり、成立しないので、求める答えはない。
(3')a<-1/2の場合、a<x<-1/2となるが、これは(1)での0<x<2の範囲以外となる。
以上より、最終的に求める答えは2<aとなる。