ゲーム理論 クールノー競争について

質問

写真のような条件での計算問題なのですが（２）でどのようにして最大利潤を求めたらいいのかがわかりません。
簡単なアドバイスでも構いませんのでどなたかお力を貸してください。

回答No.5

statecollege · ベストアンサー

以上、説明したつもりだが、まだ理解できない点があったら、追加質問してください。一般にクールノー均衡を求める手続きは以下の通り。
①各企業が自分の利潤を自分生産量と相手の生産量の関数としてあらわす。
②各企業が自分の利潤を相手の生産量を所与（一定）として自分の生産量で最大化する。数学的には、自分の利潤を自分の生産量で微分し、ゼロとおく（利潤最大化の1階の条件）。
③上の②で求めた各企業の利潤最大化条件を、自分の生産量を相手の生産量の関数としてあらわす。これらの式を最適反応関数と呼ぶ。
④各企業の最適反応関数を連立させて各企業の生産量を求める。こうして求めた各企業の生産量の組をクールノー均衡という。

回答No.6

statecollege

>今再確認しているのですが、クールノー均衡がxA=xB=c/4までの計算過程を教えていただけないでしょうか。
企業AとBの最適反応関数がそれぞれ

xA= (-2/3)xB+(1/3)√(xB^2 +6c)　　　　　　　　　　(*)
xB=(-2/3)xA +(1/3)√(xA^2+6c)　　　　　　　　　　(**)

となることはよいのでしょうか？(*)と(**)の2元連立方程式をxAとxBについて解けばよいのです。２つの方程式がxAとxBについて対称であることに注意すると、解は
xA=xB
となることは明らか（なぜ？）よって、xA=xB=xとおいて(*)あるいは(**)のどちらかに代入すると、
x=(-2/3)x+(1/3)√(x^2+6c)
と、ｘの1元方程式になるので、この方程式をｘについて解けばよい。右辺の第1項を左辺に移項すると
(5/3)x = (1/3)√(x^2+6c)
5x = √(x^2+6c)
両辺を2乗すると
25x^2 = x^2 +6c
24x^2 =6c
x^2 = c/4
x=(1/2)√c
つまり
xA=xB=(1/2)√c
がクールノー均衡解ということになる。

以前の回答には計算間違いがあったようだ。

補足

回答ありがとうございます。xAとxBが(1/2)√cになってちょっと心配になったのですが大丈夫だったようです！何度もご丁寧にありがとうございました！

回答No.4

statecollege

>この問題に与えられている所与は（２）の問題を解くうえでは利用しなくても大丈夫ということでしょうか。

あなたは2次方程式を解を求めてみました。確かめてみたら、私の計算に間違いがありました。
xA= (-2/3)xB+(1/3)√(xB^2 +6c)　　　　　　　　　　(*)
が正しい解でした。√の中の-6cは+6cとなるのが正しかった。あなたも確認してください。問題の条件xB∈[0, √2c]は(*)の右辺がプラスとなるための条件です。つまり、xB≦√2cのときかつそんときのみ、xAは正値をとる（確かめよ！）。同様にして、
xB=(-2/3)xA +(1/3)√(xA^2+6c)　　　　　　　　　　(**)
の右辺はxA≦√2cのとき、かつそのときのみプラスとなる。２つの反応関数を連立させることで、クールノー均衡が得られる。
ついでなので、クールノー均衡を求めておくと、
xA=xB=c/4
とクリーンな値となる！なお、この値は与えられた条件を満たしていることを確かめなさい。

補足

今再確認しているのですが、クールノー均衡がxA=xB=c/4までの計算過程を教えていただけないでしょうか。

回答No.3

statecollege

追記。回答２で
＞2次方程式は2つの解が存在するが、この場合は√の前の符号がマイナスを選ぶ（なぜ？）

と書いたが、誤解を招く表現でした。要するに
解の公式を使って
xA= (-2/3) + (1/3)√(xB^2 - 6c)
xA= (-2/3) - (1/3)√(xB^2 - 6c)
の２つの解を得るが、前者だけがこの問題の解（企業Aの最適反応）だということです。後者は負の値なので捨てるということ。同様にして企業Bの最適反応は
xB= (-2/3) + (1/3)√(xA^2 - 6c)
となる。クールノー競争均衡は２つの最適反応を連立させて解けばよい。

補足

ご丁寧な回答ありがとうございます。
この問題に与えられている所与は（２）の問題を解くうえでは利用しなくても大丈夫ということでしょうか。

回答No.2

statecollege

(1)は合っていますよ。企業Bの利潤を示す式はxAとxBを交換するだけなのですぐ求まる。
(2)は通常のように、∂πA/∂xA＝０を求めればよい。どうして続けようとしないんですか？xAについての2次方程式になるので、解の公式を使って
xA= (-2/3) + (1/3)√(xB^2 - 6c)
となり、これが企業Aの最適反応関数。企業ＢのそれもxAとxBを替えるだけでよい。なお、2次方程式は2つの解が存在するが、この場合は√の前の符号がマイナスを選ぶ（なぜ？）

回答No.1

statecollege

どこが難しいのでしょうか？問1などそこで与えられた手順にしたがって式を求めるだけでしょう。それができたら、あなたの答えを見せてください。あなたの答えを見てアドバイスをします。

補足

(1)で利潤πAの式をたてると
πA= -xA³-2xA²xB-2xAxB²+2cxA
になり、今まで習った通りにこれを微分してπAを最大にするxAを求めようとしてもきれいに式がまとまらずにそこでつまってしまいます。