3企業間のクールノー競争

質問

ミクロ経済学、クールノー競争についてわからない問題があります。

同質財市場での3企業間のクールノー競争を想定する。財の需要は、一定値2の価格弾力性を持つ需要曲線で記述される。すべての企業は、単位費用が一定値5に等しい同一の費用関数を持つ、クールノー均衡での財価格を求めなさい。

いままで、2企業間のクールノー均衡しか扱ったことがなく、3企業になった瞬間に全く分からなくなってしまいました。逆需要関数や費用関数はわかるのですが、そこから均衡を求める方法がわかりません。どなたかご教授いただけれますと幸いです。また、導出方法もお願いします。

回答No.1

statecollege · ベストアンサー

同質企業なら、2企業であろうと、3企業であろうと、ｎ企業であろうと解き方は一緒です。（逆に言うと、本当にあなたはn=2の場合について解けたのでしょうか？）まず、モデルをきちんと書いてみましょう。
各企業iの生産量をqi (i=1,2,3)、産業全体の生産量をQと書くと
Q = q1 + q2 + q3
価格弾力性が２で一定の需要関数はaを定数として
Q = ap^(-2)
よって逆需要曲線は
p = a^(1/2) Q^(-1/2)
と書ける。さらに、各企業iの費用関数Ciは
Ci = 5qi
と書けるので、各企業の利潤Πiは
Πi＝pqi - Ci = (p - 5)qi
よって、逆需要曲線を右辺に代入して
Πi = [a^(1/2)Q^(-1/2) - 5]qi
となる。利潤最大化の一階の条件はΠiをqiで微分して０とおくこと、よって
0 = ∂Πi/∂qi＝(-1/2)a^(1/2)Q(-3/2)qi + [a^(1/2)Q(-1/2) - 5]
を得る。ここでは、合成関数の微分の公式を使っていることに注意（どこで用いた？）すべてのiについて同じ一階の条件が成り立つので、両辺をすべてのiについて加算すると
0 = (-1/2)a^(1/2)Q(-3/2)Q + 3[a^(1/2)Q(-1/2) - 5]
= (-1/2)a^(1/2)Q(-1/2) + 3a^(1/2)Q(-1/2) - 15
よって
(5/2)a^(1/2)Q^(-1/2) = 15
したがって
Q=a/36
を得る。これが産業全体の均衡生産量。各企業iの生産量は
qi = Q/3 = a/108
逆需要曲線にQ=a/36を代入すると
p = 6
を得る（確かめてください！）これが均衡市場価格。

回答No.2

statecollege

この質問が解決したら、あなたのもう一つの質問に移ろうと思っているのだが、ずいぶんと詳しく回答したつもりだが、わかったのか、わからないところがあるのか反応がないので、こちらにはわかりません！！！。この回答でわからないようなら、もう一つの質問に回答しても、理解を期待するのは無理のようですから、回答することは取りやめますよ。

お礼

ご丁寧な解説をいただき、本当にありがとうございます。
また、返答が大変遅くなりまして申し訳ありません。
合成関数の微分を用いた部分で躓いてしまい、理解に時間がかかってしまったことをお許しください。
大変遅れてしまいましたが、ご丁寧な回答のおかげで理解することができました。
ありがとうございました。