図形と方程式

質問

分からなくて困っています。図形と方程式の入試問題です。
できれば分かりやすく説明してくださると嬉しいです

回答No.1

上野 尚人（@uenotakato）

点Pから引いた接線l、という表現だとよくわかりませんが
「円C1上の点P (a , b) における円C1の接線をlとする」と解釈します。

(1)
CPベクトル = (a - s , b) を法線ベクトルにもち、点Pを通る直線lの方程式は
(a - s) (x - a) + b (y - b) = 0 …①
と表される。また、Pは円C1上の点なので
(a - s) (a - s) + b・b = 4 …②
が成立する。①+②より
(a - s) { (x - a) + (a - s) } + b { (x - b) + b } = 4
l : (a - s) (x - s) + by = 4 …答
（①のままでも正解です）

(2)
QRは、点Qから直線lまでの距離である。
l : (a - s) x + by - s (a - s) - 4 = 0
と変形して、点と直線の距離の公式を用いると、その距離dは
d = | (a - s)・8 + b・0 - s (a - s) - 4 | / √ { (a - s)^2 + b^2 }
= | (a - s) (8 - s) - 4 | / √ { (a - s)^2 + b^2
ここで、点Pは円C1 : (x - s)^2 + y^2 = 4 上の点なので
(a - s)^2 + b^2 = 4 …③ が成立する。よって
d = | (a - s) (8 - s) - 4 | / 2
これが2に等しいので
| (a - s) (8 - s) - 4 | / 2 = 2
| (a - s) (8 - s) - 4 | = 4
(a - s) (8 - s) - 4 = 4 , または -4
(a - s) (8 - s) = 8 , または 0
与えられた条件より a - s > 0 , 8 - s > 0 なので
(a - s) (8 - s) = 8
a - s = 8 / (8 - s)
a = s + 8 / (8 - s) …答
これを③に代入して
{ 8 / (8 - s) } ^2 + b^2 = 4
b^2 = 4 - { 8 / (8 - s) }^2
b > 0 より
b = √ [ 4 - { 8 / (8 - s) }^2 ] …答

(3)
s = 3 のとき、　(2) の結果より
a = 3 + (8/5) = 23 / 5
b = √ { 4 - (8/5)^2 } = 6 / 5
とわかり、(1) で得られた直線lの方程式は
(8/5) (x - 3) + (6/5) y = 4
8 (x - 3) + 6y = 20
8x + 6y = 44
4x + 3y = 22
となる。よって、lとx軸との交点Tの座標は
T (11/2 , 0)
となる。
QT = 8 - (11/2) = 5/2
であり、三角形QRTにおいてRが直角なので、三平方の定理より
RT^2 = QT^2 - QR^2 = (5/2)^2 - 2^2 = 9/4
RT = 3/2
となる。よって三角形QRTの面積は
(1/2) QR・RT = (1/2)・2・(3/2) = 3/2 …答