外接する図形について

質問

5x^2+12y^2+z^2+12xy+6yz+4zx=2
で表される図形に外接し、z軸を軸とする円筒の半径を求めよ。
という問題がわかりません。
この方程式の表している図形もわからないほど重傷です。
解答も知りたいですが、この図形も知りたいです。
よろしくお願いします。

回答No.4

stomachman · ベストアンサー

No.2について
> ∂r/∂z = 0
> ∂r/∂t = 0
> はなぜ成り立つのでしょうか？

　曲線y=x^2 と直線y=0の接点ではdy/dx=0が成り立っている。

という事情をもしご理解なさっているのなら、以下の説明でおかわり戴けるかと思います。

∂r/∂z = 0 ：接点からz軸と平行に微少量dzだけ動いても、rは変化しない。
　　接点を含みz軸と平行な平面で切った断面で見ています。
　　断面では円筒はz軸に平行な直線、楕円体は楕円になっていて、接点で接している。横軸にz、縦軸にrを取ったグラフを考えればお分かりになるでしょう。

∂r/∂t = 0 ：接点から角度tを微少量dtだけ動かしても、rは変化しない。
　　今度は、接点を含みz軸と垂直な平面で切った断面で見ています。断面では円筒は原点を中心とする円、楕円体は楕円です。
　さらにそれを極座標で表している。そこで横軸t 縦軸r の直交座標系でグラフを描いてみると、原点を中心とする円というのはr=一定(tによらない訳)ですからt軸と平行な直線、楕円の方はなんかへんてこな曲線になり、接点で接している。

なお、ご質問の図形をExcelなどで描いてみることをお勧めします。
zを固定して、xとyの式だと思って、yについて解き、xを変えてyを計算させる。その表をグラフに描かせます。
zの値を変えるとグラフも変化する。これを眺めればどんな形だか見当がつくでしょう。

お礼

なるほど、よくわかりました。ありがとうございます。

回答No.3

shroeder

与えられた方程式で、x,yを定数と考えて、ｚの２次方程式と
見なすことができます。
これが実数解をもつための条件：判別式＞＝０を
書くと -x^2-3y^2+2 >=0
となって、これがxy平面にできた”影”の範囲です。
これは楕円の内部で、
半径√２の円柱が外接する円柱です。

3変数の2次の同次式がどのような立体になるかは、xyとかyzとかの
項があるときには、パット見てわかる方法はありません。
対称行列の対角化とか固有値とか勉強して下さい。
線形代数の本の最後のあたりに分類と図がのっている筈です。

お礼

xy平面に図形を正射影するんですね。
この解答はとてもわかりやすいです。
2次形式についてもう少し勉強します。
ありがとうございました。

回答No.2

stomachman

●式を見れば…
x^2, y^2, z^2の項の係数および定数項が正であるということは、この図形が楕円体であり、
x,y,zの項がないのは、楕円体の中心が原点(0,0,0)にあるということです。
だから対称性の高い答が出るだろうことが分かりますね。

●どうやって円筒を見つけるか
準備として図形の方程式を
f=0
f=5x^2+12y^2+z^2+12xy+6yz+4zx-2
と書くことにします。fを円筒座標(r,t,z)　ここに
　　x=r cos(t)
　　y=r sin(t)
で表すと
f=5(r cos(t))^2+12(r sin(t))^2+z^2+12(r^2)cos(t)sin(t)+6rz sin(t)+4rz cos(t)-2
ということになります。

さて、円筒と楕円体の接点では
∂r/∂z = 0
∂r/∂t = 0
が成り立っている筈です。

そこで、∂f/∂z を計算してみると
∂f/∂z=4rcos(t)+6rsin(t)+2(2zcos(t)+3zsin(t)+(5(cos(t))^2+12(sin(t))^2+12cos(t)sin(t))r)(∂r/∂z)+2z
これに∂r/∂z = 0を代入すると
∂f/∂z=4rcos(t)+6rsin(t)+2z
さて、f=0より∂f/∂z=0ですから、

円筒と楕円体の接点では
z =-r(2cos(t)+3sin(t))　…(1)
である。

同様に∂f/∂tを計算して、∂r/∂t = 0を代入すると
∂f/∂t=12(r^2)(cos(t))^2+6rzcos(t)-12(r^2)(sin(t))^2-4rzsin(t)+14(r^2)cos(t)sin(t)
を得ます。
∂f/∂t=0, 及び(1)を代入すると
4(r^2)cos(t)sin(t)=0　…(2)
である。
つまり、円筒と楕円体の接点ではr=0かcos(t)=0かsin(t)=0が成り立っている訳です。
r=0ってことはないから、円筒と楕円体は
t=0, π/2, π, 3π/2
の4点で接していることが分かります。これをf=0に代入すれば、
　t=0の時…z=-2r, r^2=2
　t=π/2の時…z=-3r, r^2=2/3
　t=πの時…z=2r, r^2=2
　t=3π/2の時…z=3r, r^2=2/3
となります。
従って、この楕円体に接する円筒というのはr=√2とr=√(2/3)の二つがある。

●お化けの検討
なんで２つ出てきたのでしょうか。
外接しているやつ(r=√2)は分かりやすいですけれど、もうひとつお化け(r=√(2/3))が出てきてしまった。このお化けの円筒は、楕円体との接点を通りz軸と平行な平面で切ってみると楕円に接する直線であり、z軸と垂直な平面で切ってみると楕円と変な風に接している、そういう円筒です。

試しにt=π/2（つまりx=0）をf=0に代入してみます（つまりx=0の平面で切ってみる）と、お化けの円筒の断面は２本の直線y=±√(2/3)です。楕円体の断面は楕円になるわけで、その方程式は
12y^2+z^2+6yz-2=0
です。これはz=±√6において|y|が最大（y=±√(2/3)）になる楕円です。グラフを描くと良くわかります。
実際、これをzの２次方程式とみなしたとき、実解があるための条件、つまり判別式は
9y^2-(12y^2-2) ≧ 0 …(3)
そして
9y^2-(12y^2-2)=0
の解は
y=±√(2/3)
であり、(3)が成り立つのは-√(2/3)≦y≦√(2/3)のときですね。この楕円は原点(0,0)から高々√(2/3)しか離れない。そして、２本の直線y=±√(2/3)はこの楕円に接しています。

今度はz=-√6をf=0に代入してみますと、お化けの円筒の断面は半径r=√(2/3)の円、楕円体の断面は楕円で、
5x^2+12y^2+12xy-(6√6)y-(4√6)x+4=0
です。この楕円は半径r=√(2/3)の円とx=0において接していて、あと２箇所で交差しています。

これは是非グラフを描いて検討してみることをお勧めします。

お礼

丁寧な回答ありがとうございます。
rの吟味は大変よくわかりました。
しかし、１点だけどうしてもわかりません。
∂r/∂z = 0
∂r/∂t = 0
はなぜ成り立つのでしょうか？
私にとっては明らかではないのでぜひ解説をお願いします。

回答No.1

newtype

まだ誰も回答していないので、わかった所だけ書きます。
質問の一つである図形の形を教えてくれということですが、これは簡単でした。
私は凡庸な予備校講師では導き出さない公式を使って解きました。この式自体は簡単なのですが、導くのにちょとした労力を要するので、明日元気なときに書きます。公式だけを教えるのは、私の主義に反しますから。

＜解＞
まずｚ＝ｋ（ｋ∈図形の存在領域のz方向）で固定して（問題の図形をｚ＝ｋの平面で切る）、その断面がどのようなシェイプか調べる。
調べた結果、切り口はｋに関係なく「楕円」であることがわかった。

また同様にｘ、ｙで固定したときも、「楕円」になった。
よって、どの方向から見ても楕円なので、図形は楕円球（ラグビーボール）である。

まだ試していませんが、ひょっとすると、円柱座標を使うと円筒の半径を求められるかもしれません。
理由は円筒だからです。（ちなみにここは笑うところです。笑ってますか？）

あるいはｚの存在条件から考えるとか。まあいろいろ試せますね。

お礼

回答ありがとうございます。
私も図形をいろいろな面で切って考えてみました。
確かにどこでも楕円になりました。
でも、具体的にどんな楕円体か（中心の座標や、長径の方向、長さなど）わかりません。
そこまで調べる必要がないかもしれませんが、イメージをつかめないと問題が解けそうにありません。

しかし、図形を知る手がかりを教えてもらったのでよかったです。
ありがとうございました。