図形と方程式

質問

図形と方程式の入試問題です。
本当にわからないので、丁寧な説明をいただけたら幸いです

回答No.1

上野 尚人（@uenotakato） · ベストアンサー

(1)
C2の式の左辺をxについて平方完成、yについて平方完成して
(x - 3r)^2 + (y - 4r)^2 = 9r^2
中心の座標は (3r , 4r) …アイ
半径は √(9r^2) = | 3r | であり、rは正なので 3r… ウ

(2)
C1の中心は原点O(0,0)、半径は2である。
C2の中心をA(3r , 4r) とする。
二つの円の中心間距離は
OA = √{ (3r - 0)^2 + (4r - 0)^2 } = √(25r^2) = | 5r | であり、rは正なので OA = 5r である。
二つの円が接するのは
半径の差の絶対値がOAと等しい（内接）
半径の和がOAと等しい（外接）
いずれかの場合である。
内接の場合は
| 3r - 2 | = 5r を解いて r = 1/4
外接の場合は
3r + 2 = 5r を解いて r= 1
小さい順に答えて r = 1/4 , 1 …ウエ

(3)
2 = 3r として r = 2/3 …オ
この値は 1/4と1（先の設問で得られた二つの値）の間なので、二つの円は2個の交点P,Qをもつことがわかる。
このとき、二つの円の式は
C1 : x^2 + y^2 - 4 = 0
C2 : x^2 - 4x + y^2 - (16/3)y + (64/9) = 0
となる。ここで、kを実数として
k (x^2 + y^2 - 4) + { x^2 - 4x + y^2 - (16/3)y + (64/9) } = 0 …★
の方程式が表す図形は、kの値にかかわらず2点P,Qをつねに通る。
★は、k=-1のときは直線を表し、k≠-1のときは円を表す。
★にk=-1を代入して得られた式が直線PQの方程式である。その式は

4 - 4x - (16/3)y + (64/9) = 0
-(16/3) y = 4x - (100/9)
y = -(3/4)x + (25/12) …カキ