複素数の証明問題（大学受験）

質問

現在、複素数を勉強していますが、わからない問題があります。これは、大学受験用参考書に載っている問題です。どなたか、おわかりになる方がいらっしゃれば、教えていただきたいと思います。宜しくお願いいたします。

問題は
三角形ABCの外側に、正方形ABDE及びACFGを作るとき、線分EGの中点をMとすると、2AM=BC,かつ,AM⊥BCであることを証明せよ、
です。

AM⊥BCの証明はわかったのですが、2AM=BCの証明が分からず、解答を読みましたが、わかりません。

解答は、
Aを原点にとり、B,C,E,G,Mを表す複素数を、それぞれ,Z2,Z3,α、β、γとすると、2│γ│=│i(Z3-Z2)│=│Z3-Z2│
ゆえに、2AM=BC
とあります。

私は、2│γ│=│i(Z3-Z2)│のところがわかりません。
Z3―Z2をI倍すると、AMと平行になるのはわかりますが、大きさを考えた時にどうして、2│γ│=│i(Z3-Z2)│が成立するのかわかりません。

私の勉強不足なのですが、質問する人がいないため、困っています。
どなたか、ご存知の方がいらっしゃれば、教えていただきたいと思います。また、説明不足の点があれば、補足させていただきますので、宜しくお願いいたします。

回答No.1

kurobe3463 · ベストアンサー

GはiZ3 （AC を90度回転させたのが AG だから）
Eは-iZ2 （AB を－90度回転させたのが AE だから）
したがって EG の中点 M(γ) はE と G を足して2で割った
　γ = (iZ3-iZ2)/2
となるから
　|γ| = |(iZ3-iZ2)/2|
　2|γ| = |iZ3-iZ2| = |i(Z3-Z2)|
　　　= |i||Z3-Z2| = 1×|Z3-Z2| = |Z3-Z2|

となるわけです．
複素数を「位置ベクトル」を考えてみましょう．

お礼

kurobe3463様、早速御回答いただきありがとうございました。ご丁寧な説明で、大変よくわかりました。

説明していただいて、どうして気づかなかったんだろう、と思いましたが、これを思いつくのも実力ですね。

御回答大変役に立ちました。本当にありがとうございました。

回答No.2

kurobe3463

ちょっと補足
3点A, B, C が反時計回りにならんでいるとして書いています．
最後の行の意味不明（＾＾；）

　「位置ベクトル」で考えてみましょう．

でした．

お礼

補足ありがとうございます。ちゃんと意味わかりましたよ。