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エルデシュの証明による素数の無限性
- エルデシュによる素数の無限性の証明は、素数の逆数和の発散性の証明ともなっています。
- エルデシュの証明は背理法によって行われ、素数の逆数和が収束すると仮定し、その仮定に矛盾することを示しています。
- エルデシュの証明では、任意のε>0に対して、ある自然数Nが存在し、1/pN+1 + 1/pN+2 + 1/pN+3 + ... < εとなることを示しています。
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確かに、そもそも素数が有限個しかなかったら、 ★の左辺は定義されないんでは？という疑問は 残る。但し、その場合は★の左辺が意味する所 とその以下の証明を適当に読み替えればいいです。 どう読み替えればいいかは考えて見てください （ヒントを以下に書きます） 「イメージ」としては pN+1 = pN+2 = ... = ∞になったと 思えばいいですが（あくまでイメージです）、 余計に混乱するなら捨ててください。 きちんと考えるなら、素数がそもそもN個しか なかったら、 ・★式は 「0 < ε」だと思って ・bnに関しては0だと思って、 ・anを全ての素因数が pN 以下の数の個数 （つまりn以下の自然数の数）とすると n=an+bn のはずですが、ここで 「あとは an を上から評価すればよいが」の部分を つなげればいいです。
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- hugen
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素数が有限の場合、最後の素数を pN として [素数の逆数和]=1/2+・・・+1/pN+0+0+0+・・・ という無限級数と考えれば、・・・・・
お礼
ありがとうございます。 素数が有限の場合は、bn=0と考えればいいわけですね。
- tmpname
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「anを全ての素因数が pN 以下の数の個数 （つまりn以下の自然数の数）とすると」 の部分は 「anをn以下の自然数の数とすると」 に読み替えて下さい。
お礼
ありがとうございました。
級数 Ｓ_n=Σ{k=1～ｎ}1/p_k が S＝Σ｛k=1～∞｝1/ｐ_k に収束する、を Ｎ－δで書くと、任意の正の数 ε＞０ に対し、あるＮが存在して、 N<n なる n に対し、｜Ｓ－Ｓ_（n－１）｜< εが成り立つ。 今、p_ｎ>0だから ｜Ｓ－Ｓ_（n-1）｜=Ｓ－Ｓ_（n-1）＝Σ｛k=n～∞｝p_k＜ε です。
お礼
＞今、p_ｎ>0だから ｜Ｓ－Ｓ_（n-1）｜=Ｓ－Ｓ_（n-1）＝Σ｛k=n～∞｝p_k＜ε 最後のΣ｛k=n～∞｝p_k のところで、素数が無限に続くことが意識されますよね？
お礼
おばんでございます。 素数が有限のときに、bnのくだりを考えなくてよいことがやっとわかりました。 ＞・★式は 「0 < ε」だと思って ＞・bnに関しては0だと思って、 ＞・anを全ての素因数が pN 以下の数の個数 うんうん、といまは納得がいきます。 時間はかかりましたがお蔭さまですっきりしました。 ありがとうございました。 それにしても、（ようやく）合点がいったこともあり この証明はごく自然なことを説明しているような気がしてきた ―――あくまでなんとなく―――のですが、 そう感じながらも私の頭には自明なことではなく、 エルデシュの発想はすごいなぁとただただ驚くばかりです。