複素数極形式の証明

質問

複素数極形式の証明

０でない複素数z1,z2に対して、
arg(z1z2) = arg(z1) + arg(z2) (mod 2π)
が成り立つことを示せ。

という問題がわかりません。

http://shigihara.hp.infoseek.co.jp/im19.htm

これとは違いますよね・・・？

回答No.7

Tacosan · ベストアンサー

それだけしか書けないんだとしたら絶対値や (特に) 偏角について十分な理解があるとは思えませんし, ましてこの問題は絶対に解けそうにないです. 他にも関係式は (いっぱいとは言わんけどそれなりに) あるはずだよね?
「最終的に、z1z2 = ～　で証明終了としているところに疑問を感じます」というならそのあとに自分で「arg(z1z2)が何かと等しいことを示す」文を追加すればいいだけ.
以下は余談ですが....
「arg(z1z2)が何かと等しいことを示す方向で証明が展開されていないので、よく分かりません」と書かれてますけど, そんなに直接的に論理が展開されている証明ってあまり多くないんじゃないかな. 普通はいろいろな方向から攻めて外堀を埋めていくものです. 極端なのが中学校の図形の証明問題かもしれない. 図形をためつすがめつ見ても何も分からないのに, 1本補助線を引くだけでスパッと証明できちゃったりする.

お礼

ありがとうございます。
この問題を解くために必要な偏角についての性質が他にもいくつかあると言うことでしたら是非とも教えていただきたいのですが、これ以上は悪いので・・・。それを知れば分かるようになるか自信はありませんが・・・。

＞直接的に論理が展開されている証明ってあまり多くないんじゃないかな
それは分かっています。
その上で、今回は、その外掘と最終的な結論がどう繋がっているのかが分からなくて、単純にそこを質問させていただきました。

x = y　ならば、log(x) = log(y)　も成り立つみたいな感じで、argをつければいいのでしょうか？

ただ、以下の式に、それを施すと、右辺がよくわからなくなります・・・。
z1*z2 = |z1||z2|*e^[i*{(arg(z1) + arg(z2)}]
　　　　 = |z1*z2|*e^{i*(arg(z1*z2)}
↓
arg(z1*z2) = arg(|z1*z2|*e^{i*(arg(z1*z2)})

そもそも、何故、証明すべき式が、使われているのかが疑問です。

回答No.8

Tacosan

例えば z の実部を x, 虚部を y, 絶対値を r, 偏角を θ とすると x = r cos θ だったりするんですが, そのようなことには気付きませんでしたか?

お礼

気づきませんでしたが、もう少し考えれば分かったかもしれません。

回答No.6

Tacosan

#1 では「ほぼ同じ」と書かれてますが, 「全く同じ」と言い切っていいと思う (厳密には「余計なことまで示している」んだが). だから, 「違うんじゃないか」と思う時点で「何か理解できていないことがあるのではないか」と感じてしまう... ひょっとして「定義しか理解できていない」とか, そういうことか?
複素数 z = x + iy の偏角 θ = arg z, 絶対値 r = |z| としたときどのようなことが言えるのか, 挙げられるだけ挙げてみてください.

お礼

(cosθ + i*sinθ) = e^(iθ)
r = (x^2+y^2)^1/2
積は反時計回り回転を表す

加法定理を用いるか、指数法則を用いるかの２つの証明方法があるということですよね？
示すべき式は、arg(z1z2) = arg(z1) + arg(z2) (mod 2π)　なのに、最終的に、z1z2 = ～　で証明終了としているところに疑問を感じます。
z1z2が何かと等しいことを示すのではなくて、arg(z1z2)が何かと等しいことを示す方向で証明が展開されていないので、よく分かりません。
#4の方の証明の方が、やり方としては納得がいくのですが・・・。

回答No.5

Tacosan

....
「どこが分からないのか」に対してそう答えられると, 正直なところ「あなたはこの問題について何 1つ理解できていないのではないか」という疑問を持たざるをえません.
arg とは何かわかっていますか?

お礼

申し訳ございません。
前々から頭が固くて、定義は分かっていても、理解力がないのが悩みの種です。
回答者の方が折角、答えて下さっているのに、理解できないことが多くて、すみません。
すると、毎回のように定義を理解していないのではと突っ込まれますが、それは分かっていてもダメです。

偏角のことですよね。複素平面上で場所を指摘できます。

回答No.4

alice_44

左辺から…て、ひょっとして、
arg(xy) = Im log(xy)
= Im( (log x) + (log y) )
= (Im log x) + (Im log y) )
= (arg x) + (arg y)
とか、そゆこと？
No.1～3 のほうが上等だと思うけど。

回答No.3

178-tall

>むぅ、よく分かりません。

引用なさった URL の二つ先をご覧下され。
　　↓　参考URL
>複素平面１１ / ド・モアブルの定理
>Ｚn ＝（Ｘ＋Ｙｉ）n ＝｛ｒ（ｃｏｓθ＋ｉ・ｓｉｎθ）｝n ＝ｒn｛ｃｏｓ（ｎθ）＋ｉ・ｓｉｎ（ｎθ）｝

(cosθ + i*sinθ) = e^(iθ) としただけです。

i.e.　Z = r(cosθ + i*sinθ) = r*e^(iθ)

参考URL：

http://shigihara.hp.infoseek.co.jp/im21.htm

お礼

なるほど、ありがとうございます。

>z1*z2 = |z1||z2|*e^[i*{(arg(z1) + arg(z2)}]
　　　　 = |z1*z2|*e^{i*(arg(z1*z2)}

{(arg(z1) + arg(z2)}が(arg(z1*z2))になっていますが、これはどうしてですか？
証明すべきことを使っていいのですか？

回答No.2

Tacosan

ん, おんなじですな.
どこが分からないのかを書けば, 誰かフォローするかも.

お礼

左辺＝・・・
もしくは右辺＝・・・
から始めてもらえませんでしょうか？

回答No.1

178-tall

>０でない複素数z1,z2に対して、arg(z1z2) = arg(z1) + arg(z2) (mod 2π) が成り立つことを示せ。
>..... ......
>http://shigihara.hp.infoseek.co.jp/im19.htm これとは違いますよね・・・？

実質的には同じだと思います。

教育の場ではいざ知らず、実戦の場でうろ覚え状態になったら、(複素) 指数関数を使って、

　z1 = |z1|*e^{i*arg(z1)}
　z2 = |z2|*e^{i*arg(z2)}
　について、
　z1*z2 = |z1||z2|*e^[i*{(arg(z1) + arg(z2)}]
　　　　 = |z1*z2|*e^{i*(arg(z1*z2)}

と確認するのがふつう。

お礼

むぅ、よく分かりません。