複素共役 共役複素数

質問

複素共役 共役複素数

複素共役の性質としてよくわからない性質があったので
質問させて頂きます。

複素数をz、zに対する複素共役をz^-で表します。

（z^-1）=（z^-）/（｜z｜^2）
これは、複素数の逆元を表していると思います。

この、（z^-1）とは（1/z）と同じことなのですか？

また、（z^-1）=（z^-）/（｜z｜^2）
となる理由を知りたいのですが、
証明の仕方を教えて頂けないでしょうか？

以上、よろしくお願い致します。

回答No.1

中村 拓男（@tknakamuri） · ベストアンサー

z=a+bi とし、複素共役を z*=a-bi
z^(-1)=1/z とします。後は計算するだけ

z*/｜z｜^2 = (a-bi)/(a^2+b^2)
z^(-1)=1/z = 1/(a+bi)=(a-bi)/(a^2+b^2)

お礼

いつもご回答ありがとうございます。
本件については、理解できました。

補足

いつもご回答ありがとうございます。
理解できました。

直交行列のついて質問させて頂きました。
http://okwave.jp/qa/q7241903.html
複素数のベクトルの大きさは複素数ZとZにおける
複素共役との積という認識でOKでしょうか？
Z・（Z^－）=｜Z｜^2

申し訳ないのですが、
http://okwave.jp/qa/q7248730.html
の方にもご回答いただけるとありがたいです。

回答No.2

yyssaa

この、（z^-1）とは（1/z）と同じことなのですか？について
その通りです。

（z^-1）=（z^-）/（｜z｜^2）について
z=a+ib、共役複素数z^-=a-ibとして計算したら分かり易いでしょう。
z*z^-=(a+ib)*(a-ib)=a^2+b^2=｜z｜^2ですから、1/z=z^-/｜z｜^2
になります。

お礼

ご回答ありがとうございます。
理解できました。