大学の複素関数の証明

質問

複素数　|z|≦|Rez|+|Imz|≦√2|z| の証明の仕方がどうしてもわかりません。分かる方詳しく解説お願いします。

回答No.3

zk43 · ベストアンサー

Rez=x、Imz=yとおく。
(√2|z|)^2-(|x|+|y|)^2
=2(x^2+y^2)-(x^2+2|xy|+y^2)
=x^2-2|xy|+y^2
=(|x|-|y|)^2≧0
この不等式を使って、複素関数f(z)=u(x,y)+i・v(x,y)
が連続であることの必要十分条件が、u(x,y)、v(x,y)
がそれぞれ連続であることの証明などにも使えますね。

お礼

|z|^2が(x^2+y^2)となるんですね。非常に助かりました。ありがとうございました。

回答No.2

Tacosan

両辺とも非負なので, 2乗してください.

補足

両辺を二乗してみると
（左辺）^2 = (|Rez|+|Imz|)^2
= |Rez|^2 + 2|Rez||Imz| +|Imz|^2
（右辺）^2 = 2|z|^2 = 2|Rez + Imz|^2
のようになると思うのですが、これからどのように証明していけばいいのか分かりません。わかる方解説お願いします。

回答No.1

noname#108210

z=a+bi として　|z| は求まりますよね？
Rez=a, Imz=b
後は，不等式の「証明」をするだけ．

補足

|z|≦|Rez|+|Imz| のところは三角不等式を用いることで証明できたんですが、|Rez|+|Imz|≦√2|z| の部分の証明が分かりません。高校の数学かもしれませんがご教授お願いします。