数学の質問

質問

実数列｛ａn｝が絶対収束するならば、Σ(n＝1,∞まで)｛ａn｝の和のとる順番を入れ替えても極限は変わらないことを示せ。

という問題があるのですがどのような手順で証明をしていけばよいのでしょうか？また、解答例もつけてくださるとありがたいです。回答のほど、よろしくお願いします。

回答No.2

noname#201036

{an}が絶対収束というのはΣa[n]が絶対収束の書き間違えと思います。

fを自然数全体からそれ自身への全単射、gをその逆写像として、
自然数Nに対してM=max{g(1),g(2)...,g(N)}とおくと
∀n∈｛自然数全体｝∧M≦n⇒N≦f(n)

となることを利用して数列(Σ[n=1～m]a[f(n)];m)がコーシー列になることを言うのが簡明でしょう。

回答No.1

misocha

説明するために記号の書き方を統一します。
A_{B} あるいは単にA_B で、Aの右下に小さいBを書いたもの
A^{B} あるいは単にA^B で、Aの右上に小さいBを書いたもの
とします。

また実数列 a_n が絶対収束ではなく
級数 Σa_n が絶対収束するとします。
(絶対収束自体級数の言葉なので、多分この意味で言ったのだと思いますが…)

イメージとしては
(1)Σa_n が絶対収束するならば、
a_n で負のものを0に置き換えたものを a^{+}_n
a_n で正のものを0に置き換え、-1倍したものを a^{-}_n
とおけば
Σ_{n=1}^{∞} a_n=(Σ_{n=1}^{∞} a^{+}_n)-(Σ_{n=1}^{∞ }a^{-}_n)
となることを示す
(正の部分と負の部分に分けて考えてよいことを示すわけです)

(2)正項級数は順序を入れ替えても極限は変わらない事を示す。
(超大雑把に言えば、有限個の列では明らかで、)
(級数は有限個の列での値を極限取ったものだから。)

(3)a^{+}_nとa^{-}_nに対して(2)を適用し極限を計算し、(1)からそれらを引けばa_nの極限になるといいます。

(1)、(3)についてはここでは省き、(2)のみ説明します。

級数の極限とは、k番目までの総和
s_k=Σ_{n=1}^{k} a_n
を考え、s_kの極限として定義されています。

また、順番の入れ替えとは、自然数から自然数への全単射に他ならず、これを
σ:N→N
としてあらわします。

a_n は常に正とする
Σ_{n=1}^{k} a_{σ(n)}
は、σ(1),...,σ(k)までの最大値を m_k として書けば、(有限個だから最大値取れますね)
Σ_{n=1}^{m_k} a_n
以下になるのは明らかです(a_{σ(n)}を全て含んでいますので。)
しかしこれは Σ_{n=1}^{∞} a_n 以下なのは明らかです。(a_nは正ですから)
つまり、
Σ_{n=1}^{k} a_{σ(n)} ≦ Σ_{n=1}^{∞} a_n
左辺はkに関して単調増加(正項級数)で、右辺により有界なので、収束し、
Σ_{n=1}^{∞} a_{σ(n)} ≦ Σ_{n=1}^{∞} a_n
ところがa_{n}とはσの逆写像によりa_{σ(n)}の順序を入れ替えたものなので
Σ_{n=1}^{∞} a_{σ(n)} ≧ Σ_{n=1}^{∞} a_n
故に順序を入れ替えても一致する。