数列

質問

数列{an}がa1=1,a2=3,an+2=3an+1-2an(n=1,2,3,……)で与えられている。
(1)bn=an+1-anとおき、bnをnの式で表せ。
(2)anをnの式で表せ。

解答
(1)bn=2^n
(2)an=2^n-1

与えられている数列の2項間の関係に目を向ければいいのは
分かるのですが、どこから手をつけたらいいか分かりません。

途中式含めて解説よろしくお願いします！

回答No.1

asuncion · ベストアンサー

隣接3項間の特性方程式m^2=3m-2より
m^2-3m+2=0
(m-1)(m-2)=0
m=1,2
よって、漸化式a[n+2]=3a[n+1]-2a[n]は次の2とおりで表わせます。
a[n+2]-a[n+1]=2(a[n+1]-a[n]) …… (1)
a[n+2]-2a[n+1]=a[n+1]-2a[n] …… (2)
(1)より、数列{a[n+1]-a[n]}は、初項2、公比2の等比数列
a[n+1]-a[n]=b[n]=2・2^(n-1)=2^n …… (3) これが、設問(1)の答え
(2)より、数列{a[n+1]-2a[n]}は、初項1、公比1の等比数列
a[n+1]-2a[n]=1 …… (4)
(3)-(4)より、
a[n]=(2^n)-1

お礼

いつもありがとうございます。
分かりやすくて助かります！