数列

質問

初項ａ（＞０）、公比（＞０）の等比数列があり。初項からｎ項までの和は８０で、その中で最大の項は５４である。初項から２ｎ項までの和は６５６０である。この数列の初項はいくらか？を教えて下さい。　特に途中の式が解りません。

回答No.2

fushigichan · ベストアンサー

＃１です。タイプミスがありました。
真ん中あたりの

６５６０÷８０＝８２

でした。
それによって

(1-r^(2n))/(1-r^n)=82

以下は同じです。頑張ってくださいね！！

回答No.3

graphaffine

僭越ながら#1の解答に突っ込ませてもらいます。

＞S[n]=a*(1-r^n)/(1-r)　ｒ≠１

この式を利用するためには公比が１でない事を
キチンと言う必要がありますね。
まあ、この問題の場合は、「すぐ分かるから省略した」
ということで通用するとは思いますが念のため。
質問者の方へ
　質問の丸投げは削除される可能性があります。自分がどこまで分かったかを明確にするようお勧めします。

回答No.1

fushigichan

derupiero3さん、こんにちは。

＞初項ａ（＞０）、公比（＞０）の等比数列があり。初項からｎ項までの和は８０で、その中で最大の項は５４である。初項から２ｎ項までの和は６５６０である。

まず、初項をa、公比をrとして
与えられた条件を、式にしてみましょう。
この一般項a[n]=a*r^(n-1)
とかけて、
初項から、第n項までの和は

S[n]=a*(1-r^n)/(1-r)　ｒ≠１

これが８０に等しいので
a(1-r^n)/(1-r)=80・・・(1)

初項から第2n項までの和は

S[2n]=a*(1-r^(2n))/(1-r)　ｒ≠１

これが６５６０に等しいので
a(1-r^(2n))/(1-r)=6560・・・・(2)

(2)÷(1)=6560÷80=81

(1-r^(2n))/(1-r^n)=82

ここで、r^n=Xとおくと、これはＸの２次方程式になって、

1-X^2=82(1-X)
x^2-82X+81=0
(X-81)(X-1)=0
X=81,1

ここで、公比r≠1ですから、Ｘ＝８１になります。

X=r^n=81
となるような、rとnを整数で考えると

１）r=3,n=4のとき3^4=81
このとき、公比が１より大きいときは、
a[1]・・・a[n]の最大の項はa[n]ですから

a*3(4-1)=54
27a=54
a=2
初項２、公比３の等比数列
このとき
a1=2,a2=6,a3=18,a4=54となってS[4]=80
S[8]=2(1-3^8)/(1-3)=6560
となって題意を満たす。

２）r=9,n=2のとき
このときも、第２項で最大になるので
a*9=54
a=6
このとき、
S[2]=6+54=60
となるので、S[n]=80に合わない。

よって、1)2)より
初項２、公比３の等比数列ということが分かる。