数学の数列です

質問

自然数を項とする数列 {a[n]} (n=1,2,3,…) が次の漸化式をみたすとする.
a[n+1] = (1/2)a[n] (a[n]が偶数の時)
かつ
a[n+1] = a[n]+1 (a[n]が奇数の時)
このとき,次の問いに答えよ.
⑴ a[1] ≧2ならば,a[k]＜a[1]となる奇数a[k]が存在することを示せ.
⑵ a[1]がどんな自然数であっても,a[k]=1となる項が存在することを示せ.

この問題の⑵がわかりません。

帰納法でとくと思のですが、どうするのでしょうか？
a[1]=1,2,3,.......,2m
まで成り立つと仮定するのでしょうか？
その辺の帰納法の使い方も曖昧です。
教えて下さい。
解答も書いて頂けると嬉しいです。

回答No.4

alice_44

何か混乱してた。訂正：

＞ n より大きい奇数 m で
＞ a[m]＜a[n] となるものがある

　　↓

n より大きい m で
a[m]＜a[n], a[m]が奇数 となるものがある

回答No.3

alice_44

漸化規則が添字に依存してないんだから、
a[1] を持ち出すことが無意味。
a[1] から始めても、a[100] から始めても、
同じことだからね。
数列全体ではなく、局所で考えよう。

a[n] が偶数なら、a[n+1]=(1/2)a[n] となる。
a[n] が奇数なら、a[n+1]=a[n]+1 は偶数なので、
a[n+2]=(1/2)a[n+1]=(1/2)(a[n]+1) となる。
こうして得られた漸化先は、いづれにせよ、
a[n]＞1 であれば a[n] より小さい。

漸化先が偶数であれば、奇数が現れるまで
漸化を続けることで、更に値は小さくなるから、
n より大きい奇数 m で
a[m]＜a[n] となるものがあることになる。

上記で特に n=1 の場合が (1)。

上記は n=1 以外でも使える話であり、
数列の任意の項から始めて、その先を見てゆくと、
出発点の値が 1 より大きければ、
出発点より小さい項が必ず現れる。

自然数の列なのだから、小さい項が現れ続ければ
どこかで 1 が現れるしかない。
これが (2)。

回答No.2

Tacosan

「2mまでa[k]=1が成り立つと仮定し、2m+2でもa[k]=1なる項が存在することを示せば」だと, 2m+1 に対しては証明できてないよ. どうする? あと, (1) は「項が進むにつれて、項の値が小さくなる」とまでは言ってません. あるところで奇数が出てくると, その次は (1 を足すから) 大きくなる.

「a[1] = 1,2,3,.......,2m」にあわせるなら, 第1段階は少なくとも a[1] = 1 と 2 で示さないとダメ. もちろん他の場合にも示さなきゃならないかもしれませんが, 最低限この 2つは必須です.

帰納法の使い方によっては a[1] = 1 だけでもいけます.

回答No.1

Tacosan

なんで 2m なんだろう.

a[1]=1,2,3,.......,2m
まで成り立つと仮定する
というのは, そこまでで「何が」成り立つと仮定するのですか? そして, その仮定の上で「どのような a[1] に対して」成り立つことを示せばよいと思いますか?

問題の流れから (1) がヒントになりそう, というのはいいよね?

補足

(1)と(2)が文字化けしてますね。
すいません。
(1)では項が進むにつれて、項の値が小さくなるというヒントだとおもいました。

僕がしたかったのは
帰納法の第二段階で2mまでa[k]=1が成り立つと仮定し、2m+2でもa[k]=1なる項が存在することを示せばとけると思いました。m+1≦2mだから仮定を用いて証明終了だと思いました。
ですが、帰納法の第一段階の示し方がわかりません。
というのも、ａ[1]=1,2,3,....
どこまでが、a[k]=1が成り立つと言うべきなのかがわかりません。