数列の問題です

質問

次の和を求めよ

Σ[n,k=1]1/(√k+2)+(√k+3)

教師からは「有理化を考えろ」と言われたのですが、なかなか考えが思い浮かびません...
途中式も含めお願いします。

回答No.1

Mathmi · ベストアンサー

問題がΣ[n,k=1]1/{√(k+2)+√(k+3)｝であるとして解いてみます。

1/{√(k+2)+√(k+3)｝
={√(k+2)-√(k+3)｝/[{√(k+2)+√(k+3)}*{√(k+2)+√(k+3)｝]
={√(k+2)-√(k+3)｝/｛(k+2)-(k+3)｝
=-{√(k+2)-√(k+3)｝
=√(k+3)-√(k+2)

n=1から順に書いていくと、
与式=√(1+3)-√(1+2)
+√(2+3)-√(2+2)
+……
+√(k-1+3)-√(k-1+2)
+√(k+3)-√(k+2)

1行目の√(1+3)と二行目の-√(2+2)は相殺されるので、同様に相殺を続けると残るのは
与式=-√(3)+√(k+3)
のみとなります。