数列

質問

数列a[n]はa[1]=1、
a[n+1]＋a[n]=3n、(n=1,2,3…)
を満たしている。
a[2k]をkの式で表せ。(k=1,2,3…)

という問題で、
途中まで解いたのですが…

a[n+1]＋a[n]=3nより
・a[2k+1]＋a[2k]=3×2k
・a[2k+2]＋a[2k+1]=3(2k+1)
下の式から上の式を引くと
a[2k+2]－a[2k]=3

ここで行き詰まってしまいました。
この式が合ってるのかも
わからない状態です…
よければ解法を教えてください。
答えはa[2k]=3k－1です。
お願いします。

回答No.4

reinoare · ベストアンサー

途中までできています。
念のため、最初から解説します。

a[n+1]+a[n]=3n ・・・(1)
n　に　n+1　を代入。
a[a+2]+a[n+1]=3(n+1)　　　・・・(2)
(2)-(1)より
a[n+2]-a[n]=3 ・・・(3)
(3)の式より、数列aは「ある項」と、「その２つ前の項」の差が常に３であることがわかる。
よって数列a[n]の奇数項を飛ばした偶数項　a[2k]は公差３の等差数列である。
またa[2k]の初項は、k=1の　a[2]　に該当する。

ここで、初期値a[1]=1　　　・・・(4)
(1)にn=1を代入
a[2]+a[1]=3
a[2]=2 （∵(4)）

以上より数列a[2k]は、初項２、公差３の等差数列である。
∴ a[2k]=2+(k-1)3 = 3k-1

お礼

ありがとうございます(^O^)
理解できました♪

回答No.3

naniwacchi

こんばんわ。

＞a[2k+2]－a[2k]=3
ここまでは合ってますよ。
もう少し単純に書き下すと、次のように書けますね。
a[n+2]- a[n]＝ 3

つまり、「1段飛ばし」の差が 3になっているということです。
a[2k]というのは偶数番目ですから、偶数番目の先頭がわかれば、
後は 3を何回か加えていくだけですね。

・偶数番目の先頭は与えられた条件から求められます。
・何回足せばいいかは、植木算の考え方をすればわかると思います。

回答No.2

puusannya

a[2k+2]－a[2k]=3
これを使わせていただきます。
a2(k) -a2(k-1)=3
a2(k-1)-a2(k-2)=3
a2(k-2)-a2(k-3)=3
・・・・・
a2(2) -a2(1) =3　（＋
ーーーーーーーーーーーーー
a2(k)-a2(1)=3(k-1)　　　　（左辺は＋－で斜めの項が消えますので）

ここで　a2=3-a1=3-1=2
よって　ａ(２ｋ)＝3(k-1)+2
＝３ｋ－１

回答No.1

さゆみ（@sayumi0570）

An+1 + An = 3n
An + An-1 = 3n-3

ひくと
Ａ（ｎ＋１）　－　Ａ（ｎ－１）＝３
Ａ（１）＝１　Ａ（２）＝２　　なので

Ａ（２ｎ）は初項が　２で　公差が３の等差数列

だいｎ項Ａ（２ｎ）は　２＋３（ｎ－１）＝３ｎ－１

Ａ（２Ｋ）＝３Ｋ－１

他の人がやってないのでやってみました