因数分解

質問

因数分解せよという問題なのですが、わかりません。

1 X^4+X^2+1
2 X^4+4X^2+16
3 X^4-12X^2Y^2+16Y^2
4 X^4+4Y^4
5 9X^4-15X^2+1
6 16X^4+4

見難いですが、よろしくお願いします。

回答No.3

mickel131 · ベストアンサー

X^4　+　X^2　+1　についてだけ書きます。

この式を（A　＋　B）^2 - C^2 のような形に変形します。この式を展開すると、A^2 + 2 A B　＋　B^2 - C^2 となりますが、これが元の式　X^4　+　X^2　+1
と　同じであってほしいのです。
それには、まず、X^4　とA^2　、+1　とB^2　を一致させます。

X^4　とA^2　を一致させます。
A^2　＝　X^4　として、A^2　＝　X^4　＝(X^2)^2
ここから、A＝(X^2)　と決められます。

（X^4　は　(X^2) の２乗ですから、A＝(X^2)　とします。すると　A^2 は　X^4　になり、都合がいいです。）

次に、+1　とB^2　を一致させます。それには、B＝1　と　したらいいですね。
このとき、
（A　＋　B）^2＝（x^2 + 1)^2 =x ^4 +2 x^2 +1
です。
最初の式との差を考えると、
X^4　+　X^2　+1　＝（x ^4 +2 x^2 +1）　-　x^2
ですが、この（　　　）のところを（　）^2の形に因数分解するのです。
すると、
X^4　+　X^2　+1　＝（x^2 + 1)^2　- (x)^2
この右辺が　＃１さん、＃２さんのおっしゃっている、2乗-2乗の形　です。後は、P=x^2 + 1 , Q=x ,
とでも置けば、　P^2 - Q^2 となりますから、和と差の積の公式により、（P+Q)(P-Q)　の形に因数分解できます。がんばってくださいね。

お礼

すごく良くわかりました。どうもありがとうございました。

回答No.2

kurobe3463

複二次式といいます．
すべて同じパターンで解けます．
参考書でも立ち読みして調べてください．
2次の項を x^2=2x^2-x^2 のように増やして2乗-2乗の形にするのです．
答えを書くと削除対象だな．

お礼

ありがとうございました。

回答No.1

babusan

ヒントだけ。

　４までやって同じパターンなのでやめたのですが、どれも(　)^2-( )^2の形にもっていってください。そのために式を変形せねばなりません。

　x^2=x^2+1-1 みたいに、自分に都合良く項を作り出せばよいのです。

　あとはがんばってください。

お礼

ありがとうございました。