因数分解のポイントは？

質問

（問題）
x^4-7x^2y^2+y^4を因数分解しなさい。

答えは (x^2+3xy+y^2)(x^2-3xy+y^2)

どこに着目して、因数分解を行えばよろしいのでしょうか？解り易い因数分解の方法があれば、教えてください。

回答No.2

debut · ベストアンサー

あけましておめでとうございます。

この場合は、先頭のｘ^4と最後のｙ^4をみて(ｘ^2＋ｙ^2)^2の展開式を
考えます。この展開式は、ｘ^4＋２ｘ^2ｙ^2＋ｙ^4になるので、
　ｘ^4－７ｘ^2ｙ^2＋ｙ^4
　　※項の順を変えながら、２ｘ^2ｙ^2を加えて、引いてを同時にすると
　　＝ｘ^4＋ｙ^4＋２ｘ^2ｙ^2－２ｘ^2ｙ^2－７ｘ^2ｙ^2
　　※前の３項は(ｘ^2＋ｙ^2)^2と因数分解でき、後ろの２項はまとめて
　　＝(ｘ^2＋ｙ^2)^2－９ｘ^2ｙ^2
　　※後ろの項の９ｘ^2ｙ^2は(３ｘｙ)^2とできるので
　　＝(ｘ^2＋ｙ^2)^2－(３ｘｙ)^2　　と変形できます。
　ここで、ｘ^2＋ｙ^2＝Ａ，３ｘｙ＝Ｂとおくと、この式はさらに
　　＝Ａ^2－Ｂ^2　　　　　から
　　＝(Ａ＋Ｂ)(Ａ－Ｂ)　　
　と因数分解できて、Ａ，Ｂをそれぞれｘ^2＋ｙ^2、３ｘｙに戻すと答え
　の式が導き出せます。

お礼

あけましておめでとうございます。
今年も宜しくお願い致します!(^^)!
最初、『2x^2y^2を加えて、引いて・・・』という事を何故行うのかが解りませんでしたが、文章の前後左右を読み直し、理解致しました。
debutさんの回答は解り易いですね。
私があまりにも解らないので、とても丁寧に回答していただいているのだと感謝しております。
このところ、夜なべが続いて風邪気味です・・・。
debutさんも風邪には気をつけてください。

回答No.1

noname#24583

普通は最高次数の低い文字に注目して、それを基準に解きます。
が、この場合はxもyも最高が4次なので、xを基準にしてもyを基準にしても同じです。

それは置いといて、この場合はx^4とy^4に注目しましょう。
x^4とy^4から、
1)(x^4-2*x^2*y^2+y^4)-5*x^2*y^2
2)(x^4+2*x^2*y^2+y^4)-9*x^2*y^2
という分け方が出来ます。
()の部分に注目すると、()^2という形に書き換えられるのはわかりますか？

1)と2)の二通りありますが、2)を見ると-9*x^2*y^2があります。
これは、-(3*x*y)^2と書けます。
つまり、2)は広く見るとa^2-b^2=(a-b)(a+b)の形である事がわかります。

よって、
(x^4+2*x^2*y^2+y^4)-9*x^2*y^2
=(x^2+y^2)^2-(3*x*y)^2
=(x^2+y^2-3*x*y)(x^2+y^2+3*x*y)
です。

お礼

着目するところがわかれば、簡単なんですね♪nukeninzさんの方法をおさらいしてみたら、あっという間に解けてしまいました。私も早く“着目する目”を養いたいです。
他の問題も解けるよう頑張ってみます。
ありがとうございました。