因数分解？？

質問

Ｘ＝√3-√2／√3+√2
Ｙ＝√3+√2／√3-√2
のとき次の式の値を求める問題です。
（1）Ｘ^2＋Ｙ^2
（2）Ｙ（Ｘ^2-Ｙ）＋Ｘ（Ｙ^2-Ｘ）
自分で考えたの（1）（2）の式を変形してから代入した方がいいのではないかとおもいます。
例えば（1）だと因数分解で習った式をつかい
（Ｘ-Ｙ）^2＋2ＸＹの式にするとか
（2）も展開してから因数分解して簡単な
式にしてから代入すると考えました。
√はついてくるは因数分解？？かややこしいです。
よろしくお願いします。

回答No.4

noname#17189 · ベストアンサー

残念ですが、不正解；

X
= √3-√2／√3+√2 　
= (√3-√2)*(√3-√2)／(√3+√2)*(√3-√2)
= 5 - 2√6 / 1
= 5 - 2√6

同様に　Y = 5 + 2√6　

N0.1さんのアドバイスの通り、XとYの和と積を予め！前以って！求めておく
X + Y　= 5 + 2√6 + 5 - 2√6 = 10
積は
元の分数のままかけてもいいし、有理化したのをかけてもいいけど
XY = 1

（このあたりまでは御自分でもやっていらっしゃったようですが、
ケアレスミスがあったみたいです。
自分でやった式の変形、どこでミスったのかよーく見直してみましょう。）

和と積が求まりましたので、それを！それをです！
(1)を変形したものに代入します。
有利化したものを代入するよりも和と積を代入するほうがずっと見易い。
与式
= （X＋Y）^2－2XY
= 10^2－2*1
です。最後の計算は御自分でどうぞ。

X + Y　= 10 及び XY = 1 及び (1)の答え を利用して
No.1さんが書いていらっしゃる(2)の変形に代入してみて下さい。

補足

分数の√計算上で間違っていました。本当すごい！
あっという間に簡単な数字になりました。
（1）は98
（2）は-88となりました。
本当に本当にありがとうございます。何と感謝してよいやら、、。
心強いです。
まだまだこれから？？な事が出てくると思いますが
宜しくお願い致します。

回答No.3

noname#17189

分数の分母にルートが入ってるときは、基本的には迷わず有理化します。

√5/√3のときは、分母の√を消すために分母に√3をかけるんですが、それだけだったら数字が変わってしまうから、要するに分母にも分子にも√3をかける。
√5/√3
= √5/√3 * √3/√3
= √5* √3/√3 * √3
= √15/3

だけど分母が２項あったら、真ん中の符号が逆になったものをかける（分母にも分子にも）。そしたら√が消えてくれます。
√5 + 3/√5 - 2　
=　(√5 + 3)*(√5 + 2)/(√5 - 2)*(√5 + 2)
= 11 + 5√5 / 1
= 11 + 5√5
になります。

XもYもこうやって、それぞれ有利化してから足し算。
（でもかけ算は、わざわざ有利化してから計算しなくても先に分子どうし、分母どうしかけ合わせちゃえばいい）

補足

本当にありがとうございます。よくわかりました。
自分で（1）をやってみました。
｛（√3-√2/√3＋√2）＋（√3+√2/√3-√2）｝＾2－
2（√3-√2/√3+√2）（√3＋√2/√3-√2）の式を解きました。
2乗の中は教えていただいたとおり分母をそれぞれ有利
化したら（5-2√6＋5-2√6）＾2となり（10-4√6）＾2
で196-80√6となりました。・・(1)

後半の2XYのところは掛け算なので分母同士・分子同士
かけました。
すると2になりました。・・・(2)
(1)-(2)だから
196-80√6－2で答えが194-80√6です。
なんだか不安ですが。。宜しくお願いします。
いつも本当に助かります。

回答No.2

noname#17189

お考えの通り、いきなり代入するんじゃなくて(1)も(2)も予めちょっと変形しておきます。
だけどちょっとコツが。

実は(1)も(2)も「対称式」というやつで、
XのところにXの代わりにYを代入して、
Yのところには逆にXを代入しても、
元の式と結局変わらなくなってますよね？

それで、この対称式というのは、どれも変形して
X＋Y　と　XY　を使って表すことが出来ます。←ここ重要
だから(1)は（X＋Y）^2－2XYと変形してください。

そうした後、XとYを直接放り込むんじゃなくて
X＋Y　と　XY　を求めてからそれを放り込んだほうが
ちょっと早くなる。

で(2)ですが、これは展開して一項目と三項目をくくったら、残りの部分が(1)と一緒じゃないですか！（マイナスはついちゃうけど）
ここでX＋Yの値とXYの値とX^2＋Y^2の値を代入しておしまい。

対称式、覚えとくといいですよ！

補足

ありがとうございます、考え方は合っているんですね。基本的なコトで恥ずかしいですが代入する時分母が√が着いている計算がよくわかりません。
（√3-√2/√3+√2）＋（√3+√2/√3-√2）って分母をそろえるために何かするんですよね？？

回答No.1

m234023b

x,yそれぞれ有理化してx+y,xyを計算してください．その後代入しやすい形にそれぞれ変形して代入してそれぞれの値を求めましょう☆

(1)は'x+y)^2-2xy
(2)はxy(x+y)-(x^2+y^2)

補足

ありがとうございます。有利化してから式を変形して行けばいいとわかりました。
ルートの分数に悩みましたがやってみました。
（1）は194-80√6になりました。（2）もやってみます。