4次関数グラフ

質問

y＝2x^4-x-1
増減とグラフの書き方を教えてください。

回答No.1

statecollege · ベストアンサー

y = 2x^4 - x -1 = f(x)
とおくと
f(1)=0
なので、「余因数定理」によって、f(x)はx-1を因数として持つ。f(x)をx-1で割ると
f(x) = 2x^4-x-1=(x-1)(2x^3 + 2x^2 + 2x +1)
を得る(確かめよ）。いま、
2x^3 + 2x^2 + 2x + 1 = g(x)
とおいて、3次関数g(x)の性質を調べる。g(x)を微分し、結果を完全平方すると
g'(x)= 16x^2 + 4x + 2 = 2(8x^2 + 2x + 1)=16(x + 1/8)^2 + 7/4
となり、
g'(x)＞０
を得るので、g関数は単調増加関数で、かつ
ｘ→∞のとき、g(x)→∞
ｘ→-∞のとき、g(x)→-∞
である。g(x)は負の無限大から正の無限大へ伸びている単調増加の関数なので、横軸（ｘ軸）と1回だけ交わる。どこの部分で交わるか？
g(0)=1
g(-1)=-1
より、ｘ軸の-1と０の間で交わることがわかる。この値をaとおくと、-1<a<0.
以上から、ｇ(x)は(x-a)を因数として持ち、g(x)は
g(x)=(1-a)h(x)
と書けることがわかった。h(x)はある2次関数で、すべてのｘについてh(x)>0である（なぜ？）
よって、
f(x)=2x^4 - x -1 =(x-1)(x-a)h(x)
となる。一方、f(x)を微分すると
f'(x) = 8x^3 - 1 = 8(x^3 - 1/8)
f"(x) = 24x^2
となる。よって、f(x)はx=1/2で最小値f(1/2)=-11/8をとり（なぜ？）、x<1/2では減少、x>1/2では増加する、U字型のグラフを描く。
このグラフはf(0)= -1だから、y軸とは(0,-1)で交わり、ｘ軸では(a,0)、(1,0)で交わる。aは-1と0の間の値であることに注意。また、最小値の座標は(1/2,-11/8)である。以上の情報をいれた関数f(x)のグラフを描けばよい。

回答No.2

statecollege

回答１でこれ以上くわしくならないぐらい説明しましたよ。回答１では3次関数g(x）が出てきますが、
g(x)＝０
には解x=aが存在しますが、そのaを-1<a<0以上に数値的に解くのは難しいし（範囲をもう少し狭めることはできるので興味があったら、トライしてみてください）、グラフを描くためにはそれ以上詳しくは必要ない。3次方程式には2次方程式のように解の公式は存在しますが、それを使って実際に解くのは難しい。

お礼

ありがとうございます。質問項目を間違っていたので…諦めていました！
お礼が遅くなりました。