陰関数のグラフ

質問

既出の問題で、陰関数が単調増加になることは、微分でない方法でできることを
回答してもらい、分かったのですが、実際にグラフにしたらどうなるのかを微分し
て、増減を調べようと思いましたが、増減の仕方が導関数から求められないでいます。
よろしくお願いします。

x>0のとき、(2y-1)e^(2xy)+1=0のグラフの増減を求めよ。

(2y-1)e^(2xy)+1=0 を微分すると、
y'=-y(y-1)/(xy-x+1)=(e^(xy)-x)/y
f(x)=e^(xy)-xとおく。
yを固定して,f'(x)=ye^(xy)-1
(1)y>0のとき、f'(x)>0 となり、単調増加。
　このときのxの範囲をもとめようとするとxはx>0となり、
　ここら辺からよくわからなくなりました。
　それで、grapesでグラフを書かせてみて、ますます
　よく分からなくなり、(2)y=0のとき、(3)y<0のときの場合
　を考えられなくなりました。
よろしくお願いします。

回答No.1

endlessriver · ベストアンサー

前問から簡単のため　(y-1)e^(xy)+1=0　とします。
さらに簡単のため、x=x(y)のグラフを考えます。y<>0とすると
　x=(-1/y)log(1-y)......(1)
y=0のときは、任意のxについて関数を満たすので、この２種類の曲線となる。

後者は明白なので議論から除き、前者の(1)み考察。
まず、(1)のlogからy<1が得られる。さらに、y<0と0<y<1の場合で(1)の値を見るといずれもx>0である。

曲線(1)の概略を見るため極限をしらべると　x→+∞(y→1)
ロピタルの定理より、x→1(y→0)、x→0(y→-∞)
となることから、大体のイメージがつかめる。

(1)のxをyで微分すると
x'=(1/y^2){log(1-y)-1+1/(1-y)}.....(2)
となる。このとき、x'>0を調べたいのであるが、簡単のため、
z=log(1-y)-1+1/(1-y)が正であることを調べればよい。すると

z'=y/(1-y)^2
であり、z'=0はy=0であり、zはy=0で狭義の最小値をもつ。すなわち、z>=z(y=0)=0。
ところが、曲線(1)はy=0で定義されていないので、z>0すなわち、x'>0となる。

あとは、(2)式を適当に変形し、ロピタルの定理で、x'→1/2(y→0)
以上でグラフの概略がわかる。

お礼

回答ありがとうございます
yの関数と見た方がいいのですか。
じっくりと考えたいと思います。
xの関数で考えていて、その計算のどこが
間違っているか気になるのでそちらも考えていきたい
と思います。