指数関数

質問

（1）の途中まで考えましたが、4のx乗のところの分解?的なところがわかりません。よろしくお願いします。（2）もお願いします。

回答No.3

info33

[75]
y=3(4^x + 4^-1) -20(2^x +2^-1) +9

(1)
2^x+2^(-x) = t (>=2)
4^x+4^(-x) +2 = t^2

y= 3(t^2 -2) -20 t +9 = 3 t^2 -20 t +3

(答) y = 3 t^2 -20 t +3

(2)
y= 3(t-10/3)^2 - 91/3

t=10/3 の時 最小値 y= -91/3 をとる
この時,

2^x+2^(-x) = 10/3

3*2^x > 0 を掛ける
3(2^x)^2 -10*2^x +3 = 0

(2^x -3)(3*2^x -1) = 0

2^x= 3, 2^x = 1/3
x = log_2 (3) , -log_2 (3)

(答) yの時 最小値 = -91/3 , この時,x = ± log_2 (3)

お礼

ありがとございました

回答No.2

asuncion

おっと(1)で誤りが
＞4^x + 2 + 4^(-x) = t^2 - 2だから
正しくは
4^x + 4^(-x) = t^2 - 2だから

お礼

ありがとございました

回答No.1

asuncion

y = 3(4^x + 4^(-x)) - 20(2^x + 2^(-x)) + 9
1)
2^x + 2^(-x)) = tとおく。
t^2 = (2^x + 2^(-x)))^2 = 4^x + 2 + 4^(-x)より、4^x + 2 + 4^(-x) = t^2 - 2だから
y = 3t^2 - 20t + 3

2)
y = 3(t^2 - 20t/3) + 3
= 3(t - 10/3)^2 - 91/3
よってt = 10/3のときyの最小値は-91/3
2^x + 2^(-x)) = 10/3
2^x = sとおくとs + 1/s = 10/3
s^2 - 10s/3 + 1 = 0, 3s^2 - 10s + 3 = 0, (s - 3)(3s - 1) = 0, s = 3, 1/3
s = 3のとき2^x = 3よりx = log[2]3
s = 1/3のとき2^x = 1/3よりx = log[2](1/3) = -log[2]3

お礼

ありがとございました