体での共役の定義って?
複素数での共役の定義を一般的に述べればどういう事か考えています。
a+biとa-biを掛けたり足したりすると実数になり,実数体は複素数体の真の部分体ですよね。
従って、これらの事を考慮して
最小多項式をとりあえず調べてやってみました。
1+iは0次式a=0の解には当然成り得ません。また一次式ax+b=0の解にも成り得ませんから更に二次式ax^2+bx+c=0…(*)を考えるとこれに1+iを代入して
(2a+b)i+(b+c)=0を得,2a+b=b+c=0でなければなら事。
c=0の場合はb=a=0となり不適。よってc≠0でb=-c,a=c/2。
よって(*)に代入して
c/2x^2-cx+c=0で両辺を2/c倍してx^2-2x+2=0。これが1+iのR上の最小多項式。
そしてこの方程式を解くと,x=1±iで他の解はx=1-i。
[3]√2のＱ上の最小多項については
α=[3]√2と置くと,α^3=2なのでx^3-2=0が[3]√2のＱ上の最小多項式。
この3次方程式をQ上で解くと因数分解できないので他の解は無し。
R上で解くとx^3-2=(x-[3]√2)(x^2+[3]√2x+[3]√2)=0.
よって他の解はx=(-[3]√2±√([3]√4-4[3]√2))/2
となりました。-[3]√2±√([3]√4-4[3]√2))/2は互いを足しても掛けても[3]√2でQの元にはなりません。
α∈E＼K(Eは可換体Kの拡大体)が代数的な時。最小多項式が偶数次数の場合には場合には共役な解の対になっているが奇数次数の場合には共役対を持たない解がある。
[結論]
3次の場合にはペア無しが1つ現れる。4次の場合にはふたペアになると予想します。
従って,分かった事はどの元にも共役元が存在するとは限らない。
故に
「F'を体。FをF'の真の代数的拡大体とするとa∈Fに於いてx∈Fはaの共役である。
⇔(def)
(i) a∈F'の時はx=a
(ii) a∈F＼F'の時は ax∈F'且つa+x∈F' なるx∈F＼F'」
が共役な元の定義だと思いますが…。
如何でしょうか?
体での共役の定義をご存知の方いらっしゃいましたらお教え下さい。
お礼
ありがとうございます よくわかりました。