複素関数の共役関係について

質問

皆さんよろしくお願いいたします。
ある関数F(z)があるとします。
ここでは虚数単位をj＝√-1と表わします。
変数ωに虚数単位を掛けたもの
ｚ＝jω
を代入したあらたな関数をF(jω)・・・(1)とします。
さらに
ｚ＝－jω
を代入した関数をF(-jω)・・・(2)とします。
このとき式(1)と式(2)は共役複素数であることを証明したいのです。
工学の制御工学の分野で利用しているのですが、上記がなぜ成立つか証明できません。
具体的な例では分かるのですが、一般化した場合に成立つかを証明したいのです。
ご存知の方、ご教示いただきたくよろしくお願いいたします。

回答No.6

info22 · ベストアンサー

#2です。

＞　F(z)は実係数有理多項式で既約であること。…(1)
＞　F(z)の極と零点は虚軸を含む左半平面に存在すること。…(2)

こういう条件は正実関数の条件で現実の世界の電気回路や実現可能な関数ですが、
そこを離れて単なる複素関数論の範囲だけを考えるなら
#4さんが言われるように、
(1)の条件だけで十分で、その条件でのf(z)であれば,
質問者さんの質問の
Re f(jw)=Re f(-jw),Im f(jw)=-Im f(jw)　…(3)
が成立し、f(jw)^* = f(-jw), f(-jw)^* = f(jw)
ということが言えるでしょうね。

なお、
z^* はzの共役複素数を表すものとします。
またRe f(z）はf(z)の実数部、Im f(z)はf(z)の虚数部を表すものとします。

従って、実係数有理多項式の条件を使って、証明することになりますね。

Ev f(z)={f(z)+f(-z)}/2
Odd f(z)={f(z)-f(-z)}/2
が成立しますので
この式で　z=jwとおけば
Re f(jw)={f(iw)+f(-jw)}/2 (= a　とおく）
j*Im f(iw)={f(iw)-f(-jw)}/2 （=j b　とおく）
となりますので
ここから
f(iw)=a+jb
f(-iw)=a-jb
が出てくるでしょう。

ここで、Ev f(z)はf(z)の偶関数部、Odd f(z) はf(z)の奇関数部
を表すものとします。
この辺りのことは複素関数論を勉強して下さい。

お礼

分かりやすい、ご回答をありがとうございます。
すっきりしました。
f(-jｗ)＝a－jbについては以下のような計算でよろしかったでしょうか。
Re f(-jw)＝{f(-jw)+f(jw)}/2＝a
j*Im f(-jw)＝j*{f(-jw)-f(jw)}/2＝-j*{f(jw)-f(-jw)}/2＝-jb

しかし残念ながら、実係数有理多項式の条件については小職手持ちの教科書（解析学概論）では載ってませんでした。
ネットで調べましたが有理関数の既約分数表示のみ以下のリンク先で理解できました。
http://lecture.ecc.u-tokyo.ac.jp/~nkiyono/koji07/koji07-09a.pdf
"実係数有理多項式の条件"において"実係数有理多項式"とはどのようなものなのでしょうか、またその"条件"とはどのようなものでしょうか、無知で申し訳有りませんが、ご面倒にならない範囲でご教示いただければ幸いです。

回答No.7

info22

#2,#6です。
訂正です。
> 従って、実係数有理多項式の条件を使って、証明することになりますね。
実係数有理多項式 → 実係数有理関数
の間違いです。

実係数有理関数は分子・分母が実係数多項式の関数であり、既約形で扱います。もちろん分母=1の場合も含まれますので、この場合は単なる実係数多項式の関数になります。
これらの、極（分母のゼロ点）やゼロ点（分子のゼロ点）と実係数有理関数との間の関係、つまり、実係数有理関数の性質を満たすことが、証明に必要な条件になるかと思います。その性質はすでにA#6の中で書いて使っています。

より詳細なことを知りたければ、
複素関数、有理関数、複素解析、複素関数論、複素解析概論などの単行本、理工学各分野での複素関数を扱っている章などを理工学系の図書館で探してきて勉強してください。これらの検索キーでネットを検索してみてください。ただしネットの性格上、断片的には見つかると思いますが、あまり深い内容は掲載されてはいないと思います。どちらかというと著者の専門分野での扱いに限定され、多くは大学講義レベルの内容でしょうね。

複素関数や複素解析は奥深く内容も膨大ですので、ここで簡単に扱えるものではありません。複素関数論や複素解析は、数学、理学、工学の幅広い分野で純粋理論、制御工学などそれぞれの応用領域で取り扱われ、有用な解析ツールや微積分法などで利用されています。

＞小職手持ちの教科書（解析学概論）では載ってませんでした。
たまたま持っている専門書の1冊だけでは難しいでしょう。
僕も学生時代、複素関数論や複素解析概論や専門分野の複素関数や複素解析を扱っている単行本を神田の本屋街や出版社の専門書カタログを調べて、何冊も買い揃え、また図書館でも関係図書を読み漁りました。
今でも複素関数論、複素解析を極めているわけではなく、専門分野限定の範囲の領域だけですね。必要があればさらに上記の方法に加え、ネットでの学会論文や関係HPの検索して調べるでしょうね。
HPへの情報公開も図や数式を書くのが大変でそれぞれの目的範囲に限られてしまいますね。

自分が必要とする情報が、そのまままとめて載っている単行本やHPはないと思います。分散した情報源から収集して必要な情報だけを抽出してまとめることになります。その段階では、証明に必要な知識や証明自体もできてしまうということでしょう。

お礼

懇切丁寧なご回答をありがとうございます。
必要な情報をネットや図書館にある複素関数の書籍を漁って見ます。
大変ありがとうございました。

回答No.5

koko_u_

>f(z) = \bar{g(z)} の\barの意味が理解できず申し訳有りませんが、教えていただけませんか。
\bar{z} というのは z の上にバーがあると思って下さい。つまり複素共役ということ。

質問文を素直に読めば、\bar{F(jz)} = F(-jz) を言いたいということですよね。
これはもちろん \bar{F(z)} = F(\bar{z}) とは別物で、\bar{F(z)} = F(-z) をということになりましょうか？(z がすべての複素数をわたるのであれば jz も z も「同じ」)

mathstudy さんが直面している問題領域がわからないので、どのような暗黙的前提があるのかも私にはわかりません。

回答No.4

Tacosan

よ～するに F(\bar z) = \bar{F(z)} を証明したい, ということだと＞#3.
そのためには当然条件が必要ですね.
#2 で挙がっている条件があれば十分だけど, 極や零点の位置を無視して, 単に「F(z) が z の実係数有理関数」という条件だけで OK のはず.
どうしても証明したければ... (構造) 帰納法?

回答No.3

koko_u_

>複素数はｚ＝x+jyとするとその共役複素数はz*＝x-jyですから
>この場合はｘ＝0、y＝ωと考えれば共役関係にあります。

あなたの考える「共役関係」と私の考えるそれとの間には大きな乖離があるようです。
関数が「共役関係」にあるとはどういうことかを補足にどうぞ。

ちなみに私は単純に関数 f(z) と g(z) が共役とは
すべての複素数 z について f(z) = \bar{g(z)} ( g(z) の複素共役 ) だと思ってました。

補足

質問がわかりにくくて申し訳有りません。
私が質問している共役関係とは複素共役のことで回答者さんがおっしゃている用語は同じですが内容が違うかもしれません。
f(z) = \bar{g(z)} の\barの意味が理解できず申し訳有りませんが、教えていただけませんか。
私の理解では、どの複素関数論の教科書にも載っているように、「複素数ｚ＝x+jyに対して複素数ｚ＝x－jyをｚの共役複素数または簡単に共役数という。」とあるのでこのことと理解してます。
補足になっておりますでしょうか？

回答No.2

info22

問題の丸投げとそれに対する丸解答の要求は禁止行為です。また丸解答も禁止行為で削除対象になります。

ですから、質問者さんが解答を作成し書いていただいて、分からない箇所だけ具体的に質問するような質問の仕方にして下さい。

ヒントだけに留めます。
制御工学の分野に出てくるF(z)には暗黙の条件があります。
その条件を明らかにして、その条件を使わないと証明はできません。

F(z)は実係数有理多項式で既約であること。
F(z)の極と零点は虚軸を含む左半平面に存在すること。

この暗黙の条件から
実軸上にない極や零点は共役複素数のペアで存在する。
ことが分かりますので、このことを使って証明してください。

具体的な証明は質問者さんにお任せします。
他人任せをしないで自分で考えてください。

回答No.1

koko_u_

F(z) = z

とすると、F(jω) = jω , F(-jω) = -jω で複素共役ではありません

お礼

ご回答ありがとうございます。
この場合は
F(jω)＝jω
F(-jω)＝-jω
複素数はｚ＝x+jyとするとその共役複素数はz*＝x-jyですから
この場合はｘ＝0、y＝ωと考えれば共役関係にあります。