関数の複素共役と元の関数の関係

質問

関数ｆ（ｘ）において、その複素共役をｆ*（ｘ）　とすると、
ｆ（ｘ）＝ｆ*（ｘ）　の場合、ｆ（ｘ）は、実関数に限ると思いますが、
証明の方法がわかりません。
テーラ展開できる場合は、僕でも証明できますが、
もっと、一般的には、どうするのでしょうか？

それから、ｆ（ｘ）＝-ｆ*（ｘ）　の場合、
（例えば、ｆ（ｘ）＝ｉ x　）
こういう関係が成り立つ関数を、どう呼んだらいいでしょうか？
反エルミート関数？

回答No.2

stomachman · ベストアンサー

ご質問は、なんかエラク難しく考え過ぎのような…
　「複素数zってのはz = a+ib (a,bは実数)のことで、z* = a-ib」という基本知識だけで十分でしょう。
　さらに、zの実部: Re[z] = (z+z*)/2, 虚部: Im[z] = (z-z*)/(2i) を陽に使えば簡単。

　　f＝ f* ⇔ Re[f]+i Im[f] = Re[f]-i Im[f]
なので、
　　f＝ f* ⇔ Im[f] = 0
　つまりf＝ f* であるためには、fの値域が実数であることが必要十分条件。そこで、任意の g: 実数×実数 → 実数を持ってきて
　　f(x) = g(Re[x], Im[x])
とすれば、f(x) ＝ f*(x)を満たす。 （たとえば g(a,b) = 1 + a+(a^2)bなんてのでも。）
　逆に、f(x) ＝ f*(x)のとき、fは実数値なのだから
　　g(a, b) = f(a+ib)
は g: 実数×実数 → 実数 。

> ｆ（ｘ）＝-ｆ*（ｘ）　の場合

　Re[f(x)] = 0 だから、f(x)の値域が純虚数であることが必要十分条件。

> 反エルミート関数

　(i f(x)) = (i f(x))* と言ったんじゃ駄目なのかな？

お礼

そういうことですか！！
ありがとうございます。

回答No.1

alice_44

f(x) の虚部が Im f(x) = { f(x) - f*(x) } / 2
= { f(x) - f(x) } / 2 = 0 ですから、
f(x) は実数値をとる関数と判ります。
ただ、「実関数」というのは、x と f(x) の両方が実数
の範囲のものを指すように思います。
質問の状況では、x は虚数でもよいようですが…

お礼

エレガントな回答、ありがとうございます。

ｘが複素数まで考えると、僕では、f(x) ＝ f*(x) となるような関数が思い付きません。
こんなので、よいのでしょうか？
f(x) ＝ｇ*(x)ｇ(x)
とか、そのものズバリ、
f(x) ＝ｇ(x)＋ｇ*(x)
もっと、まともなものがあれば、お教え下さい。

尚、このような関数は、量子力学で、
全確率が時間によらず一定となる証明とか、
ａj†ａi からなるハミルトニアンをエルミートにするために出てきます。