複素平面の一次分数変換について質問です

質問

複素平面上の単位円を単位円に写す変換はe^(iθ)(z-α)/(βz-1)（|α|≠1、βはαの共役複素数）
のように表せるかと思います
また、実軸を単位円に写す変換はe^(iθ)(z-α)/(z-β)(βはαの共役複素数）
で表せるかと思います
ここで質問なのですが、
(1)実軸を実軸に変換する一次分数変換
(2)実軸を虚軸に変換する一次分数変換
の一般的な形はどのようになるのですか？例えばe^(iθ)は(2)に属すると思いますが、これは限られた場合の一部のような気がします

回答No.1

alice_44 · ベストアンサー

(1)
実軸を実軸へ移すものは、実係数の一次分数変換。
(2)
実軸を虚軸へ移すものは、それの虚数単位倍です。

一次分数変換を x→(ax+b)/(cx+d) と書いたとき、
a,b,c,d が上記以外になる場合もありますが、
うまく約分すれば、上記の形になります。

一次分数変換は、3 点の移り先を指定することで
決まりますから、0 の像、∞ の像、∞ の原像
を考えれば、それが解ります。

お礼

ありがとうございます
3点の対応を知ればいいのですね
これからもよろしくお願いします