複素共役整合とスミスチャート

質問

マイクロ波回路で複素共役整合を考えたとき（※１）の反射係数一定の円を、一般的なスミスチャート上に描くにはどうしたらよいでしょうか？

５０オームとの整合を考えた場合、反射係数一定の円は、原点中心の同心円になるのは分かります。一方、複素共役整合の場合、原点からずれた位置で円が描けると思うのですが、反射係数の絶対値が一定という式（※２）をいくら変形しても円に辿りつけません・・。
もし円が描けたら視覚的に結果を評価しやすくなると思うのですが・・・。ご教授願います。

※１　たとえば、ＲＦＩＤタグアンテナと入力側のマッチングをとる場合・・・
※２　|(Z-conjuZo)/(Z+Zo)|=（定数）conju:複素共役

回答No.4

tadys

伝送線路を使用したインピーダンスマッチングですよね。
５０オームの負荷に５０オームの伝送線路をつないだ場合はどんな長さの線路をつないでも５０オームにしかならないので５０オーム以外とはマッチングを取ることは出来ません。

例えば、５０オームと１００オームのマッチングを取るのであれば
Ｚ＝√（５０ｘ１００）＝７０．７オームの伝送線路を使用すればいいのです。
スミスチャートの中心を７０．７オームとすれば５０オームと１００オームは等反射係数の関係になります。

ＺｐとＺｓのマッチングを行うのであればそれぞれのインピーダンスに対して反射係数の絶対値が同じになるインピーダンスの線路を使用します。
帯域を広くしたい場合は１段でマッチングさせるのではなく何段か使用して徐々に変化させるようにします。

お礼

ご回答ありがとうございます。
私が考えているのは、単純に、複素共役整合と反射係数の関係を５０オームのスミスチャートに描きたかったのです。うまく伝わらなかったらすみません・・。
しかし確かにスミスチャートの中心を別のものに変更するのもありかもしれませんね！
参考にさせていただきます。

回答No.3

noname#101087

>|(Z-conjuZo)/(Z+Zo)|=（定数）

(複素)インピーダンス Zo に対するインピーダンス Z の反射係数は確かに上式右辺。
Zo = 1 の場合を復習してみました。

Z = r+jx として、|(Z-1)/(Z+1)|^2 = d を勘定すると、
　　(r-ro)^2 + x^2 = 4d/(1-d)^2　　　…ro = (1+d)/(1-d)
という円になる。(途中ミスってなければ..... )

(r, x) の全平面を円内に写像した「スミスチャート」では、中心 (1, 0) の円になるのでしょうかね。
だとすれば、同様に勘定して conjuZo を中心とする円が得られそうな予感です。
お試しを。

お礼

ご回答ありがとうございます。
確かに円が得られそうです。早速試してみようと思います。

回答No.2

tance

再度ANo.1です。
式をちょっと勘違いしました。
｜（Zo - conju Zo) / (Zo + conju Zo) | が完全整合時のΓです。

caparesiさんの式は
|(Z-conjuZo)/(Z+Zo)|=（定数）
ですから、ZとZoを区別されているので、conjuが分母にあるかないかだけが
問題だったかもしれません。（ただ、このようにZとZoで表すならあえて
conjuを持ち出すことはないですね）

補足

ご回答ありがとうございます。
少し補足質問させて下さい。

| (Zo - conjuZo) / (Zo + conjuZo) |
が完全整合時のΓということですが、Zo=a+jb としたときに、上式の分子はj2bとなり、反射係数が０になっていないような気がするのですが・・。
※２の式の左辺は、Ｚを負荷のインピーダンス、Zoを、接続点から電源側を見込んだインピーダンス（５０オームでなくて、複素数）としたときに、ＺがZoの複素共役に近いほど反射係数が小さくなり、Ｚが完全にZoの複素共役になったときに反射係数が０になる、という式なので完全整合時の式は
| (conjuZo - conjuZo) / (conjuZo + Zo) |
となりそうなのですがどうでしょうか。
うまく伝わらなかったらすみません・・。

回答No.1

tance

※２の式　　|(Z-conjuZo)/(Z+Zo)|=（定数）　は整合が完全にとれた
ことを意味していますから、円にはならないと思います。
（正しくは分母も　conjuZoです）

円にたどり着くには共役が崩れたことを式で表現しなくてはなりません。

A+jB に対して C+jD か何かを想定して|Γ|=定数となる条件を
求め、(C,D)が円上に乗ることを確かめてみてください。

難しくはないですが面倒ですから、EXCELか何かで複素計算関数を
使って描画させても良いかもしれません。