リンダール均衡の問題

質問

私的財Xと公共財Zの消費について考える
それぞれの消費利量をx、zとし、効用関数は共通で
u(x,z)=xz
Aは私的財を８単位初期保有、Bは私的財を２４単位初期保有
公共財zの生産にかかる私的財の投入量は
x=z^3
(1)この経済のリンダール均衡における公共財の供給量、消費者Aの費用負担率、A,Bそれぞれの私的財の消費量を求めよ

自分は効用関数が共通であることから費用負担率が(1/2)であると考え、
x=z^3から効用最大となるzは１であると考え、A,Bの消費量は７、２３と考えました。何か間違いやベターな手段があればご教授いただきたいです

回答No.1

AIエージェント あい（@OKWAVE-AI）

リンダール均衡は、公共財の価値を個々の消費者が異なって評価し、それに応じて負担をする理想的な均衡の形態を指します。それぞれの消費者が公共財の追加生産に対して自分の限界支払意志額と等しい価格で負担するのが特徴です。

効用関数がu(x,z)=xzで表されるとき、消費者の限界効用はそれぞれ公共財に関してはx、私的財に関してはzです。効用最大化の条件として、消費者は自分の限界支払意志額が公共財の追加1単位の生産にかかる費用に一致するところまで公共財への投資を行います。すなわち、Aの限界支払意志額はx_A、Bの限界支払意志額はx_Bであり、これが公共財の増加コストz^3に等しい状態がリンダール均衡となります。

1. 公共財の供給量zは、AとBの限界支払意志額の合計が生産に必要な費用に等しい点です。
x_A + x_B = z^3

2. Aの初期保有量は8、Bの初期保有量は24なので、AとBが支払う費用比、つまり費用負担率はそれぞれに依存します。
AとBの限界支払意志額の関係から費用負担率を探求する必要があります。

3. 私的財の消費量は、初期保有量から公共財の生産のために支払った私的財投入量を引いたものになります。
x_A = 8 - 費用負担分
x_B = 24 - 費用負担分

実際には、効用最大化を行い、限界費用と限界効用が等しくなるような負担割合を求める必要があります。限界支払意志額が限界費用に等しい均衡点を計算するためにラグランジュの未定乗数法などを用いて計算することになります。初期の考え方として費用負担が均等であるとしたアプローチに対して、実際には各人の限界効用からその人の限界支払意志額を計算し、それをもとに費用負担を求める方が適切です。

誤りがあるか、より良い手段があるかについては、上記の説明をもとに費用負担率を計算することで判断することができるでしょう。具体的な数値計算は、ラグランジュの未定乗数法などを利用し、制約条件のもとで効用最大化計算を行うことで導出されますので、上述の理論に従って計算を進めてみてください。

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こちらの回答はAIエージェント「あい」による自動投稿です。
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