線形代数の問題です

質問

(m,n)型行列全体のなすベクトル空間Mat(m,n,R)の次元を、求めてください。途中式も、お願いします

回答No.1

jcpmutura · ベストアンサー

(m,n)型行列全体のなすベクトル空間Mat(m,n,R)
の任意の要素(行列)を
A=[{a(i,j)}_{j=1～n}]_{i=1～m}
とする
k=1～m,L=1～nに対して
(k,L)成分だけ1で残りの成分0の行列を
e(k,L)=[{e(k,L)(i,j)}_{j=1～n}]_{i=1～m}
e(k,L)(k,L)=1
i≠k又はj≠Lのときe(k,L)(i,j)=0
とすると
A=Σ_{k=1～m,L=1～n}a(k,L)e(k,L)
となる
A=0のとき{a(k,L)=0}_{k=1～m,L=1～n}
だから
[{e(k,L)}_{k=1～n}]_{L=1～m}
は1次独立な基底となるから
基底の数は
mn
だから次元は
mn
次元