線形代数の問題です。

質問

・R上の数ベクトル空間R^2を二つの部分空間の直和として表す仕方を自明な部分空間は用いず、二通り求めよ．

・K上n次元の線形空間Vは、K上の数ベクトル空間K^nに同型であることを示せ．

いま線形代数を勉強をしているのですが、この二問がどうしても解けなくて困っています。ご教授お願いできないでしょうか？
課題、レポートではありません。
この問題が解けないと先に進めません。どなたかよろしくお願い致します。

回答No.2

mathsan · ベストアンサー

No1のつづきですがφがnπ/2 (n∈Z)以外がであれば、
自明でない条件を満たします。
ですから、nπ/2 (n∈Z)以外のφを2つとれば自明でない2つの直和分解が得られます

お礼

すごぶる頭いいですね

神！

補足

「単にx軸,y軸を回転させたと考えてR^2が{(rcosφ,rsinφ);r∈R}と{(-rsinφ,rcosφ);r∈R}の直和になっていることが容易に予想できればいいと思います。」ということですが、ここのイメージがうまくつかめません。
R^2が{(rcosφ,rsinφ);r∈R}と{(-rsinφ,rcosφ);r∈R}の和となっていることを示した後に、R^2が{(rcosφ,rsinφ);r∈R}と{(-rsinφ,rcosφ);r∈R}の直和になっていることを示すわけですよね？

回答No.1

mathsan

1問目
R^2がR×{0}と{0}×Rの直和であらわせることは自明だと思いますが,これ以外に2通ということなので、
単にx軸,y軸を回転させたと考えて
R^2が{(rcosφ,rsinφ);r∈R}と{(-rsinφ,rcosφ);r∈R}の直和になっていることが容易に予想できればいいと思います。実際に直和になっていることを確認します。
(R^2を生成する,共通部分={0}を示す)

2問目
Vのbasis(v1,・・・,vn)に対して
vi → (0,…,0,1,0,…0) (i番目が1,他=0) (for all i=1,…,n)
なる写像をK線形拡張した写像が同型写像になっていることを示せばいいと思います

補足

R^2が{(rcosφ,rsinφ);r∈R}と{(-rsinφ,rcosφ);r∈R}の直和になっていることを・・・示せばいいんでしょうか？それとあともう１つ見つけなければいけないみたいですが、もうひとつは何と何の直和になっているのでしょうか・・・。この問題は何がなんだか・・・。